切片方法求體積

這一份教材應該要畫許多圖來做視覺輔助， 但是這些圖都不是普通的測繪 (plot) 可以勝任， 必須要做些視覺處理。我們現在沒時間 (也沒經費) 畫這些圖， 只好請讀者充分發揮想像力了。

我們先舉一個很簡單的例子，從這個例子裡，我們學習一種立積分式子的方法。 讓我們來推導圓柱體的體積公式。 假設一個圓柱體的底部半徑為 r (r > 0) 而高為 h (h > 0)。 我們設定一個三維 (x-y-z) 坐標系統，讓圓柱體的底部就在 x-y 平面上， 而底部的圓心在坐標系統的原點。圓柱的中心軸就是 z 軸， 而圓柱的頂部就在 z=h 處。 我們都知道，這樣的圓柱體積是 。

現在，我們將 z 軸的 [0,h] 區間等分成 n 段，令 z_k 是分割節點， 而每一段的寬度是 (也就是 h/n)。那麼，可以想像原圓柱體是由 n 片厚度為 的薄圓柱體堆積而成 (就好像罐頭裡面的鳳梨一樣)。 應用圓柱體體積公式，每一片薄片的體積是

從以上的例子，我們看到一個通則：如果要求體積， 可以將它切成一片一片的薄片，再將所有薄片的體積加起來。 為了能使用微積分作為求體積的工具， 我們必須給定一個坐標系統，並且設法將這個體積的外圍寫成方程式。 然後，切成薄片個過程，就對應一種閉區間內的分割。 而薄片體積的和，就變成一種黎曼和。將 就得到一個定積分式子，然後求那個定積分就行了。

我們可以正經八百地按照規矩來：先寫出黎曼和，再取極限改寫成定積分。 也可以利用一種「型式化」的思維方法，那就是，把每一個點 x 的長度 (或寬度、或厚度) 假定為 dx (或者是 y 的長度就是 dy、 z 的長度就是 dz...，它們只不過是自變量的名字，可以換成任何名字)， 然後對於 [a,b] 區間中的每一個點 x，做一個厚度 (或長度、或寬度、或深度...) 為 dx 的薄片。那麼，這片薄片的體積就含有一個 dx。 對每一個 x 就有一張薄片，所以有無窮多張薄片。 把這無窮多張薄片的體積加起來的動作，就不再是 而直接寫 。

回到前面的圓柱體例子。 對於 [0,h] 區間中的每一個 z 都切一張薄片。 這張薄片的面積是 而它的厚度是 dz，所以薄片的體積是 那麼，整個圓柱的體積就是

正式的步驟，應該要先建立黎曼和，然後轉換成積分型式。 但是如果讀者可以在直覺上接受上述「厚度為 dz」的「型式化」推理方法， 其實事情會變得簡單得多。 對於某些問題，每張薄片的體積可能會出現 dx 和 (dx)² 或者更高次方。 但是因為 dx 本身已經非常非常小了 (以前稱之為 無限小量 (infinitesimal)， 近代不流行這個名詞了)，所以 (dx)² 就更小而可以忽略不計。

讓我們利用上述「型式化」推理方法，來推導球的體積。 假設一個半徑為 r (r > 0) 的球，放在 x-y-z 坐標系統中， 其圓心就在原點。因為對稱性，我們只需要計算上半球的體積，然後再乘以二就行了。 假設我們沿著 z 軸做橫切片，則 z 的範圍是在 [0,r] 之內。 我相信讀者都有足夠的幾何知識，而且有本領知道， 每一張薄片都是圓形，其半徑是 而厚度是 dz，所以薄片體積是 現在，可以立下球體積的積分式為

許多有對稱性的體積，可以經由面積的旋轉而得到。 譬如半徑為 r 的上半球，可以是 x-y 坐標平面上以 r 為半徑的四分圓旋轉而成。 比較詳細地說明，則先考慮

如果您懷疑 z 軸去了哪裡，其實這不重要，不過您如果一定要問， 可以想像 z 軸就是通過原點、垂直於 x-y 平面、朝著您自己的方向而來的直線。

以上述「旋轉體」的想法，我們示範圓錐體的體積公式。 一個高為 h (h > 0) 而底部半徑為 r (r > 0) 的圓錐體， 可以想像是一個三角形的旋轉體。 在 x-y 平面上以

習題

1. 埃及金字塔大約是一個方尖錐：它的每一片水平截面都是正方形。 古夫王金字塔的底部邊長大約是 230 公尺，高度大約 125 公尺， 請問此金字塔的體積大約是多少立方公尺？[HH]
2. 計算 y = e^-x 在 [0,1] 之間與 x 軸、y 軸圍成的區域， 繞 x 軸旋轉一圈所造成的體積。
3. 計算 y = e^-x 在 [0,1] 之間與 x 軸、y 軸圍成的區域， 繞 y 軸旋轉一圈所造成的體積。
4. 計算 y = x 和 y = x² 所圍成的區域， 繞水平線 y=3 旋轉一圈所造成的體積。[HH]