九十學年暑期‧微積分學分班

期末考

1 (20 分)	是非題。若在整個實數上都連續，則存在某數使得對所有實數都符合 $\vert f(x)\vert\leq M$ 。若在區間內不連續，則在內不可微。若在區間內不可微，則在內不連續。若在區間內連續，而 $c\in(a,b)$ 。則 $\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$ 。若在 $[a,\infty)$ 內連續，則它在 $[a,\infty)$ 內的廣義積分必定可積。
2 (10 分)	令是北半球在 6 月 21 日 (夏至) 那天的日曬時數---也就是從日出到日落的時數，不論當天的氣象與當地的地形。其中是緯度，以度數為單位，故 $x\in[0,90]$ 。令 $x_0=66.5^\circ$ 是北極圈的緯度，則 $\begin{displaymath} S(x) = \cases{a + b\sin^{-1}\bigl({\tan x\over\tan x_0}\bigr) &for $0\leq x\leq x_0$ \cr 24 & for $x_0\leq x \leq 90$ }\end{displaymath}$ 也就是說，北極圈內在夏至當天是「永晝」。根據您的常識，請問應該是幾小時？(不要回答 ``'') 請決定常數和，如果需要數值計算，寫出四位有效數字。桃園市大約恰好在北緯 $25^\circ$ ，請問桃園市在 6 月 21 日的日曬時數？令是氧分子在室溫下的速率，以 m/sec 為單位。在為數非常多的氧分子中，各個速率不同。麥斯威爾 (Maxwell) 認為這些分子的速率分佈函數 (distribution function) 是 $\begin{displaymath} p(v) = a v^2 e^{-(m/2kT)v^2},\quad\hbox{for }v\in[0,\infty) \end{displaymath}$ 其中 $k=1.4\times 10^{-23}$ 是波茲曼 (Boltzmann) 常數，是凱氏溫標，此處假設 $T=293^\circ K$ (所謂的室溫)， $m=5\times 10^{-26}$ kg 是氧分子的質量。請據此回答以下三題。
3 (10 分)	對於任何實數常數，證明 $\begin{displaymath} \int_0^\infty p(v)\,dv \end{displaymath}$ 可積。
4 (10 分)	假設 $\begin{displaymath} \int_0^\infty p(v)\,dv = 1 \end{displaymath}$ 請計算常數，寫出四位有效數字。
5 (10 分)	當大約是多少的時候 (寫出四位有效數字)，使得達到最大值？
6 (10 分)	證明 $\begin{displaymath} \sum_{k=1}^\infty {1\over k^2} \end{displaymath}$ 收斂。(提示：將此無窮級數拆成兩部份來看： $\begin{displaymath} \sum_{k=1}^\infty {1\over k^2} = 1 + \sum_{k=2}^\infty {1\over k^2} \end{displaymath}$ 而上式之第二項是某個廣義積分的下黎曼和。)
7 (10 分)	請敘述積分均值定理。
8 (10 分)	在內定義函數 $\begin{displaymath} f(x) = \cases{-1 & if $x\in[-1,0)$\cr 1 & if $x\in[0,1]$} \end{displaymath}$ 請問 $\begin{displaymath} \int_{-1}^1 f(x)\,dx = \hbox{?} \end{displaymath}$ 請問有沒有一個數 $\xi\in(-1,1)$ 符合以下等式？ $\begin{displaymath} f(\xi)={1\over 1-(-1)} \int_{-1}^1 f(x)\,dx \end{displaymath}$ 如果有，請找出來；如果沒有，請說明理由。
9 (10 分)	前一題的結果，不符合積分均值定理的結論。但是它並沒有抵觸積分均值定理，請說明為什麼？