九十學年暑期‧微積分學分班

第二週驗收評量

1 (5 分)	若證明對所有的實數和正數 h， $\begin{displaymath}{f(x_0+h)-f(x_0-h)\over 2h} = 2\,x_0\end{displaymath}$
2 (5 分)	請計算並猜測以下數值： $\begin{displaymath}\lim_{n\to\infty}\,{ 1\over n}\end{displaymath}$
3 (5 分)	請計算並猜測以下數值： $\begin{displaymath}\lim_{n\to\infty}\,{ n\over n+1}\end{displaymath}$
4 (5 分)	請計算並猜測以下數值： $\begin{displaymath}\lim_{n\to\infty}\,{ 2\,n^2\over 4\,n^2+1}\end{displaymath}$
5 (5 分)	請問反正切函數 $\arctan\,x$ 是從哪裡映成至哪裡的連續函數？
6 (5 分)	請問反餘弦函數 $\cos^{-1}\,x$ 是從哪裡映成至哪裡的連續函數？
7 (5 分)	請討論 $\begin{displaymath}\sqrt{x^2+x+1}\end{displaymath}$ 在哪些點上連續？說明您所根據的理由。
8 (5 分)	請討論 $\begin{displaymath}\sqrt{4-x^2}\end{displaymath}$ 在哪些點上連續？說明您所根據的理由。
9 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\lim_{x\to\,0}\,2^x\cos x= \hbox{?}\end{displaymath}$
10 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\lim_{x\to\,3^-}\,{ x^2-4x+3\over x-3}= \hbox{?}\end{displaymath}$
11 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\lim_{x\,\to\,0}\, x^2\,\sin\,{ 1\over x}=\hbox{?}\end{displaymath}$
12 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\lim_{x\,\to\,2}\,{ 1-\sqrt{x/2}\over 2-x}=\hbox{?}\end{displaymath}$
13 (5 分)	請說明什麼是導數？什麼是導函數？
14 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}{ d\over dx}\,(7x+5)\Bigr\vert _{x=-1}=\hbox{?}\end{displaymath}$
15 (5 分)	請問在 [0, 1] 內的積函數是什麼？
16 (5 分)	請問在 [1, 2] 內的積函數是什麼？
17 (5 分)	如果函數中，自變量 x 代表時間 (以 hr 作單位)，應變量 y 代表馬達抽出的水量 (以 m^3/hr 作單位)。請問在 [0, 1] 內的積值代表什麼意義？
18 (5 分)	如果函數中，自變量 x 代表高速公路的里程碑 (以 km 作單位)，應變量 y 代表車流密度 (以輛/km 作單位)。請問在 [20, 60] 內的積值代表什麼意義？
19 (5 分)	如果我們知道 $\sin x$ 在 x = 0 附近幾乎是一條直線，而此直線的斜率是 1。請問，根據這個資訊，您可以估計 $\sin (0.12)$ 大約是多少？它的小數點下四位「真正數值」是 0.1197。
20 (5 分)	如果我們知道在 x = 1 附近幾乎是一條直線，而此直線的斜率大約是 1.3863。請問，根據這個資訊，您可以估計 $2^{0.92}$ 大約是多少？它的小數點下四位「真正數值」是 1.8921。