九十學年暑期‧微積分學分班

第三週作業

1 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int 3x^2\,dx = \hbox{?}\end{displaymath}$
2 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int x^2\,dx = \hbox{?}\end{displaymath}$
3 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_a^b x^2\,dx = \hbox{?}\end{displaymath}$
4 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_a^b x^3\,dx = \hbox{?}\end{displaymath}$
5 (2 分)	如果我們規定 $x\,\log_2\,x - 1.4427\,x + C$ 是 $\log_2\,x$ 的反導函數。請問 $\log_2\,x$ 在 [1, 4] 區間內的積函數是什麼？
6 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_{-1}^1 x\,dx =\hbox{?}\end{displaymath}$
7 (4 分)	請問 (不需要知道 $\cos x$ 的反導函數就能回答) $\begin{displaymath}\int_0^{2\pi} \cos x\,dx =\hbox{?}\end{displaymath}$
8 (4 分)	如果是一個正數，在內是一個連續函數而且是奇函數，請問 $\begin{displaymath}\int_{-a}^a f(x)\,dx\end{displaymath}$ 有什麼必然的結果？為什麼？
9 (2 分)	請問以下極限存在嗎？如果不存在，其左右極限分別是什麼？如果存在，是發散還是收斂？如果收斂，是什麼數？ $\begin{displaymath}\lim_{x\to\,0}\,\vert x\vert\end{displaymath}$
10 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}{\displaystyle d\over\displaystyle dx}\,(7x^2+3x-1) = \hbox{?}\end{displaymath}$
11 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}{\displaystyle d\over\displaystyle dx}\,(2x^3-6x+2) = \hbox{?}\end{displaymath}$
12 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_{-1}^1\, x^2+x+4\,dx = \hbox{?}\end{displaymath}$
13 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int\,(7x^2+3x-1)\,dx = \hbox{?}\end{displaymath}$
14 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int\,(2x^3-6x+2)\,dx = \hbox{?}\end{displaymath}$
15 (2 分)	請問在 [1, 10] 內的積函數是什麼？
16 (2 分)	請問在 [-10, 0] 內的積函數是什麼？
17 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}{\displaystyle d\over\displaystyle dx}\,(x^7+5x^5)(x^6-2x^3+2)=\hbox{?}\end{displaymath}$
18 (2 分)	求以下函數的導函數。 $\begin{displaymath}y = \root 2\of x\end{displaymath}$
19 (2 分)	求以下函數的導函數。 $\begin{displaymath}y = x^{1/3}\end{displaymath}$
20 (2 分)	求以下函數的導函數 (針對它的自變量)。 $\begin{displaymath}w = (t^2+1)^{8}\end{displaymath}$
21 (2 分)	求以下函數的導函數 (針對它的自變量)。 $\begin{displaymath}w = (1+\sqrt{t})^{100}\end{displaymath}$
22 (2 分)	求以下函數的導函數 (在它有意義的範圍裡面)。 $\begin{displaymath}y = \sqrt{1-x^2}\end{displaymath}$
23 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int\,x^{1/3}\,dx = \hbox{?}\end{displaymath}$
24 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_0^4\,\root 2\of x\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
25 (4 分)	若 $\begin{displaymath}f(x) = 4x^3 +6x^2 -23x +7\end{displaymath}$ 請問它的曲線在哪些區間內漸增 (也就是導數 >= 0)？
26 (4 分)	若 $\begin{displaymath}f(x) = x^3 -9x^2 -16x +1\end{displaymath}$ 請寫出它的所有斜率為 5 的切線方程式。
27 (4 分)	若 $\begin{displaymath}f(x) = x^2 -2x +4\end{displaymath}$ 請寫出它的所有通過原點的切線方程式。
28 (4 分)	若 $\begin{displaymath}f(x) = x^7+5x^5-3x^3+x-1\end{displaymath}$ 則將它微分七遍之後的導函數是什麼？
29 (2 分)	請做 $\begin{displaymath}{\displaystyle d\over\displaystyle dz}\,{\displaystyle z^3+z^2-1\over\displaystyle z^4}\end{displaymath}$
30 (2 分)	請做 $\begin{displaymath}\int{\displaystyle 1\over\displaystyle 3z^2}+{\displaystyle 1\over\displaystyle 4}\,dz\end{displaymath}$
31 (4 分)	請問在哪些區間上漸增且凹向上？
32 (4 分)	如果請寫出
33 (4 分)	如果請寫出
34 (4 分)	請寫出通過 (5, 3) 這一點的切線方程式。
35 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}{\displaystyle d^2\over\displaystyle dx^2}\,\root 2\of x=\hbox{?}\end{displaymath}$
36 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}{\displaystyle d^3\over\displaystyle dx^3}\,{\displaystyle 1\over\displaystyle x}=\hbox{?}\end{displaymath}$
37 (2 分)	請寫出以下函數的導函數
38 (2 分)	請寫出以下函數的導函數 [HH]
39 (2 分)	請寫出以下函數的導函數
40 (2 分)	請寫出以下函數的導函數
41 (2 分)	請寫出以下函數的導函數
42 (2 分)	請寫出以下函數的導函數
43 (2 分)	請寫出以下函數的導函數
44 (2 分)	請寫出以下函數的反導函數
45 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int\,\sin2x\,dx =\hbox{?}\end{displaymath}$
46 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}{\displaystyle d^4\over\displaystyle dx^4}\,\sin x=\hbox{?}\end{displaymath}$
47 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}{\displaystyle d^n\over\displaystyle dx^n}\,x^n=\hbox{?}\end{displaymath}$
48 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}{\displaystyle d\over\displaystyle dx}\,\sin x^5=\hbox{?}\end{displaymath}$
49 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}{\displaystyle d\over\displaystyle dx}\,\sqrt{1-\sqrt x}=\hbox{?}\end{displaymath}$