九十學年暑期‧微積分學分班

第四週驗收評量

1 (5 分)	做以下函數的導函數 (對其自變量微分，勿用電腦軟體) $\begin{displaymath}y = x^2 \cdot 2^x\end{displaymath}$
2 (5 分)	證明 $e^x\geq 1+x$ 對所有實數 x 都成立。提示：考慮通過 (0,1) 點的切線。
3 (5 分)	找尋的所有解，寫到小數點下第四位。(可以用電腦軟體)。
4 (5 分)	寫出與在 x = 0 附近「最靠近」的二次多項式。這裡「最靠近」的意思是，它們兩者在 x = 0 處的 0, 1, 2 次導數都一樣； 0 次導數代表原函數值。
5 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}1-\frac12+\frac1{2^2}-\frac1{2^3}+\frac1{2^4}-\frac1{2^5}+\cdots=\hbox{?}\end{displaymath}$
6 (5 分)	請將以下方程式寫成一個無窮級數的和。 $\begin{displaymath}{ 1\over 1+x^2} \qquad (\vert x\vert<1)\end{displaymath}$
7 (5 分)	請推導 $\begin{displaymath}\tan^{-1} x = x - { x^3\over 3}+{ x^5\over 5}-{ x^7\over 7}+\cdots\end{displaymath}$ 提示：arctan(x) 的導函數是 1/(1+x^2)。
8 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_1^e\,{ 1\over x}\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
9 (5 分)	若 n 是一個正整數，x ₀ 是一個實數，而是一個 n 次多項式。如果 $\begin{eqnarray} p(x) &=& a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x+a_0 \\ &=& b_n(x-x_0)^n + b_{n-1}(x-x_0)^{n-1}+\cdots+b_1(x-x_0)+b_0 \end{eqnarray}$ 請寫出 a ₀ 和 b ₀ 的關係。
10 (5 分)	請用 Maple 計算 $(-1)^{1/3}$ 請問答案是多少？您如何檢查這個答案是否正確？
11 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}1-{ 1\over 2!}+{ 1\over 3!}-{ 1\over 4!}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty\,{ (-1)^{n+1}\over n!}=\hbox{?}\end{displaymath}$
12 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}{ 1\over 1!}+{ 1\over 3!}+{ 1\over 5!}+{ 1\over 7!}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\,{ 1\over (2n+1)!}=\hbox{?}\end{displaymath}$
13 (5 分)	請推導出 $\root 3\of {1-x}$ 以 0 為參考點的四次泰勒多項式。
14 (5 分)	請推導出 $\sqrt{4+x}$ 以 0 為參考點的四次泰勒多項式。
15 (5 分)	請問 (練習級數操作，不要用羅必達法則) $\begin{displaymath}\lim_{x\to\,0}\,{ \sin x-x\over x^3}=\hbox{?}\end{displaymath}$
16 (5 分)	請問 (練習級數操作，不要用羅必達法則) $\begin{displaymath}\lim_{x\to\,0}\,{ \tan x\over x}=\hbox{?}\end{displaymath}$
17 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\lim_{x\,\to\,0}\, { e^x - e^{-x}-2\sin x\over \sin^3 x}=\hbox{?}\end{displaymath}$
18 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\lim_{x\,\to\,0}\, { \int_0^x e^{t^2}\,dt\over \int_0^x\, \cos^2 t\,dt}=\hbox{?}\end{displaymath}$
19 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\lim_{x\,\to\,0}\, { \sin^{-1} x\over x^2}=\hbox{?}\end{displaymath}$
20 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\lim_{x\,\to\,0}\, x^{({ 1\over x})}=\hbox{?}\end{displaymath}$