九十學年暑期‧微積分學分班

第六週作業

1 (2 分)	如果 $\begin{displaymath}\int_{-\pi}^\pi\,{\displaystyle \sin x\over\displaystyle x}\,dx \approx 3.70387411\end{displaymath}$ 請問 $\begin{displaymath}\int_0^\pi\,{\displaystyle \sin x\over\displaystyle x}\,dx \approx \hbox{?}\end{displaymath}$
2 (4 分)	定義 $\begin{displaymath}H(x) = \cases{x &if\quad $0\leq x< 1$\cr 2-x &if\quad $1\leq x< 2$\cr 0 & else}\end{displaymath}$ 情問在內的定積分是什麼？
3 (4 分)	如果是區間中的連續漸增函數，而且給定了一個 n 段分割。請問在這個分割上所作的右黎曼和是等於上黎曼和？還是等於下黎曼和？簡述原因。
4 (4 分)	請寫出 $\ln x$ 在區間內 n 段均勻分割的下黎曼和。
5 (4 分)	證明 $\begin{displaymath}\sum_{k=1}^n\,\ln k < \int_1^{n+1}\,\ln x\,dx\end{displaymath}$
6 (4 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_0^4\,{\displaystyle x\over\displaystyle \sqrt{16- x^2}}\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
7 (4 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_0^1\,{\displaystyle \ln x\over\displaystyle x}\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
8 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\lim_{x\,\to\,\infty}\, x\,\sin\,{\displaystyle 1\over\displaystyle x}=\hbox{?}\end{displaymath}$
9 (4 分)	如果是一個「有界」函數；也就是說存在一個正數 M 使得 $\vert f(x)\vert\leq M$ 請證明 $\begin{displaymath}\lim_{x\,\to\,\infty}\, {\displaystyle f(x)\over\displaystyle x}=0\end{displaymath}$
10 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\lim_{x\,\to\,\infty}\, {\displaystyle x+\sin x\over\displaystyle 2x}=\hbox{?}\end{displaymath}$
11 (4 分)	請問 $\begin{displaymath}\lim_{x\,\to\,\infty}\, {\displaystyle \ln x\over\displaystyle \ln(x+1)}=\hbox{?}\end{displaymath}$
12 (4 分)	請證明，對任意的正整數 n 都是 $\begin{displaymath}\lim_{x\,\to\,\infty}\, {\displaystyle e^x\over\displaystyle x^n}=\infty\end{displaymath}$
13 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_0^\infty\,\sin x\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
14 (2 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_{-\infty}^\infty\,{\displaystyle 1\over\displaystyle x^2+1}\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
15 (4 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_3^\infty\,{\displaystyle 1\over\displaystyle x^2-x}\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
16 (2 分)	請寫出 $\ln$ 的反導函數，及以下定積分值： $\begin{displaymath}\int_0^1\,\ln x\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
17 (2 分)	如果 $\begin{displaymath}\int_{-\infty}^\infty\,e^{-x^2}\,dx = \sqrt\pi\end{displaymath}$ 請問 $\begin{displaymath}\int_0^\infty\,e^{-x^2}\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$ 簡述理由。
18 (4 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_{0}^\pi\,{\displaystyle 2-\sin x\over\displaystyle x^2}\,dx\end{displaymath}$ 是否可積？簡述理由。
19 (4 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_\pi^\infty\,{\displaystyle 2-\sin x\over\displaystyle x^2}\,dx\end{displaymath}$ 是否可積？簡述理由。
20 (4 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_{0}^1\,{\displaystyle 1\over\displaystyle \sqrt{x^3+x}}\,dx\end{displaymath}$ 是否可積？簡述理由。
21 (4 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_1^\infty\,{\displaystyle 1\over\displaystyle \sqrt{x^3+x}}\,dx\end{displaymath}$ 是否可積？簡述理由。
22 (4 分)	請問，哪些數可以使得以下廣義積分可積？簡述理由。 $\begin{displaymath}\int_1^2\,{ 1\over x(\ln x)^p}\,dx\end{displaymath}$
23 (4 分)	請問，哪些數可以使得以下廣義積分可積？簡述理由。 $\begin{displaymath}\int_2^\infty\,{\displaystyle 1\over\displaystyle x(\ln x)^p}\,dx\end{displaymath}$
24 (10 分)	若要用 $\cos x$ 以 0 為參考點泰勒多項式來估計 $\cos 1$ 、而且希望估計值至少準確到小數點下第四位，請問至少需要幾次的泰勒多項式？
25 (10 分)	計算兩軸長分別為 2 和 1 的橢圓周長。您可以使用電腦軟體，但是要寫出步驟。答案寫出四位有效數字。我們早就知道圓周長公式，但是誰見過橢圓周長公式？為什麼沒見過呢？我們現在推導看看。請寫出兩軸長分別為 a 和 b (a, b > 0) 的橢圓周長積分式。盡量化簡。試試看能不能算出這個積分式？ (可以用電腦軟體輔助計算) 請解釋您遇到的困難是什麼？
26 (10 分)	埃及金字塔大約是一個方尖錐：它的每一片水平截面都是正方形。古夫王金字塔的底部邊長大約是 230 公尺，高度大約 125 公尺，請問此金字塔的體積大約是多少立方公尺？您可以使用電腦軟體，但是要寫出計算步驟。