九十學年暑期‧微積分學分班

期中考

1
(20 分) 		是非題。
  1. 令 $f(x)=x^3+1$， 則 $f(x)$ 在 $(-\infty,\infty)$ 內有反函數。
  2. 若 $f(x)$ 在區間 $(a,b)$ 內可微，則 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內連續。
  3. 若 $f(x)$ 在區間 $(a,b)$ 內不可微，則 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內不連續。
  4. 若 $0\leq f(x) \leq g(x)$ 且 $\displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)=0$， 則必 $\displaystyle\lim_{x\to0} f(x)=0$。
  5. 若 $f(x)$ 在 $x=c$ 處連續， $x_n$ 是一個數列而且 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = c$， 則 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) = f(c)$。
2
(10 分) 		陳述第一型式和第二型式的微積分基本定理。
3
(10 分) 		請問 $\vert x\vert$ 在任何 $x\not=0$ 處是否連續？簡述理由。
4
(10 分) 		求
\begin{displaymath} \lim_{x\to0^+} \vert x\vert\quad\hbox{and}\quad \lim_{x\to0^-} \vert x\vert \end{displaymath}

5
(10 分) 		請問 $\vert x\vert$ 在 $x=0$ 處是否連續？簡述理由。
6
(10 分) 		請問 $\vert x\vert$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0, \infty)$ 區間中是否可微？ 如果是，請分別寫出其導函數。
7
(10 分) 		請寫出 $\vert x\vert$ 在 $x=0$ 處導數之極限定義。 並且探討這個極限是不存在？還是發散？還是收斂？
8
(10 分) 		請問 $\vert x\vert$ 在 $x=0$ 處是否可微？簡述理由。
9
(10 分) 		請問「如果函數在 $c$ 點連續，則在 $c$ 點可微 (有導數)」 這句話是否正確？如果您認為正確，請證明或說明。 如果您認為不正確，請舉一個反例 (在邏輯上， 對於任何命題，只要找得到一個反例，就可以推翻那個命題)。 所謂反例，就是找到一個例子，符合上面那句話的前提，卻不符合結論。
Created: Aug 12, 2001
Last Revised: Sep 21, 2001
© Copyright 2001 Wei-Chang Shann 單維彰
中央大學數學系
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