讓我們且慢推衍其他的三角函數微分公式. 再回頭多看一眼
讓我們看一些更簡單的情形. 當 的時候, x 和 x2 都是趨近於 0 的. (我們定義, 這個符號, 就是語言上說 x 趨近於 y 的意思.) 但是, (其中的無限大符號在這裡就表示發散的意思.) 在這裡, 我們要提出速度的看法. 固然 x 和 x2 都趨近於 0, 但是速度不同. 直覺上, 我們會同意 的速度遠快於 的速度. 所以, 在 中, 分子趨近於 0 的速度遠快於分母趨近於 0 的速度. 因此極限是 0. 在 中, 分母趨近於 0 的速度遠快於分子趨近於 0 的速度. 因此發散. 但是直覺上感到 的速度比 的速度快, 就要稍作修改. 因為 我們說 的速度和 的速度一樣快 (或一樣慢), 而當它們都趨近於 0 的時候, 它們保持一定的比例, 也就是 0.00001. 這個比例常數的重要性, 遠遠比不上冪次的重要性. 比如說 0.00001x 和 x1.00001 來比, 可見 的速度還是比 的速度快得多.
現在, 我們就瞭解, (3) 式的意義就是, 當 的時候, 的速度和 x 本身趨近於 0 的速度一樣快, 而且比例常數是 1. 但是 的速度就遠快於 的速度. 在一個習題裡面, 您將看到, 其實 的速度和 的速度一樣快, 當然就遠快於 的速度.
應用數學常常是記量的數學, 所以, 除了關心收斂不收斂的問題之外, 收斂的速度, 更是應用數學家或是科學家所要仔細研究的. 比如說, 當我們要用某個計算方法, 寫個電腦程式算出一個數列 {xn}, 使得 limxn 逼近某數 x. 在數學上, 當然需要證明 limxn = x. 基於這種數學理論上的保證, 我們才能相信, 當 n 夠大之後 (也就是說, 電腦疊代了夠多次之後), xn 的值就很靠近 x 的值. 這時候, 如果 的速度有如 的速度, 電腦要花 100,000,000 個疊代步驟才能得到 0.1% 誤差的估計值; 那麼, 如果 的速度有如 的速度, 電腦可能只要花 100 個疊代步驟就能得到 0.1% 誤差的估計值了. 其間的差異, 真是非常的大.
再換個角度, 的意義就是, 當 x 靠近 0的時候, 我們記做 sinx 很靠近 x. 參照圖三十九. 而經過一個簡單的變數變換, 可見 意思是說, 當 x 很大的時候, 很靠近 我們已經討論過, 當 x 靠近 0 的時候, 急速地振盪. 但是, 顯然當 之後, 就不再振盪. 現在我們更知道了, 當 就不再振盪之後, 它的圖形就像 一樣緩降到 0. 參照圖四十. 圖三十九 圖四十