第十講

數列之收斂檢驗

數列的收斂定義, 從一個以數列為主觀的角度 (一組數列逼近於某個定數), 跳躍到以極限值為主觀的角度 (某個數被一組數列無限密集地圍繞). 這個角度的敘述固然精簡美麗, 但是不容易被我們拿來檢驗一個數列是否收斂. 因為通常我們難以預測那個極限值.

所以, 在實用上, 我們須要一些理論, 用以檢驗一個數列是否收斂. 一旦確定其收斂性, 就可以用電子計算機來估計其極限值. 如果所討論的數列是實數數列 (在此, 若沒有特別說明, 我們總是討論實數數列), 那麼根據實數的完備性, 漸增但有上界, 或是漸減但有下界之數列均收斂. 這是我們學習的最基本檢驗法. 此外, 我們還知道了, 如何利用比較的辦法, 得知一個數列必發散. 另一個基本的比較辦法, 是所謂的夾擊定理.


令 s_n, x_n, S_n 為三數列且符合 若 與 均存在且相等,
則 存在且等於前二者之極限.
這是一個很符合直覺的定理. 特別要注意存在且相等這段話. 如果不相等的話, 後面的結論就不正確了. 例如 而

以後我們還會再講幾種比較性的收斂檢驗定理. 但是, 現在, 讓我們先回到微積分的核心問題. 我們要根據柯西為曲線下面積所下的定義來證明柯西的積分理論 (閉區間上的連續函數必可積), 然後在這種基本型式下證明微積分基本定理. 這個定理告訴我們, 微分與積分互為反運算. 因此, 求反導函數也就是求積分的基本方法 (其實這幾乎是我們僅有的方法; 用電子計算機算得的只是積分的估計值, 而非積分值.) 在這門課裡, 我們將不去證明更一般型式的微積分基本定理.

子數列

給一個數列 {x_n}, 通常足標 n 的次序就有如自然數的次序: 1, 2, 3, .... (有時候從 0 開始, 有時候甚至從某個負整數開始.) 如果我們按照原來 {x_n} 的次序, 任意挑一些數形成一個新的數列, 例如

這些從 {x_n} 中按照順序挑出來的數列, 都稱作 {x_n} 的子數列. 在符號上, 子數列記做 {x_nk}, 其中 n₁, n₂, n₃, ..., 是子數列的足標, k 是按照自然數的次序, 而 n_k 就是被挑出來的那些足標, 例如

子數列的一個最基本性質就是:


收斂數列之子數列必收斂.

一個數列 {x_n} 有無窮多項. 如果這無窮多項都被限制在一個有界的區間之內. 也就是說, 存在某二數 使得

那麼, 直覺上, 似乎無窮多項的數列就應該會擠在一起. 這個數列本身倒不一定會收斂, 因為它們可能會擠成兩堆. 例如, x_n = (-1)ⁿ 這個數列, 奇數項都是 -1, 而偶數項都是 1. {x_n} 本身不收斂, 但是, 它的子數列 {x_2k} 和 {x_2k+1} 都收斂 (分別為常數數列 {1} 和 {-1}). 這個現象可以推展到一般的情況:
有界數列必有一收斂之子數列.
這是所謂的有界數列定理.

再談連續性

在數學分析理論 (也就是以無窮數列, 實數的完備性, 微積分為基礎的一套數學分支) 之中, 我們常常關心這樣的命題: 什麼樣的數學結構和極限可交換? 例如我們已經看過這樣一個問題, 什麼時候

現在, 我們要問一個更基礎的問題: 如果 {x_n} 是一個收斂數列, 什麼樣的函數會使得

假如 而且 f(x) 在 連續, 回顧連續函數的 定義, 我們宣稱

任給 由 f(x) 的連續性, 找得到一個 使得若 則 由 x_n/I> 的收斂性, 找得到一個 N > 0 使得若 n > N 則 故存在一個 N>0 使得若 n>N 則 由數列收斂的定義, 就是數列 f(x_n) 的極限.

其實, 這個敘述和早先說的連續函數的 定義是等價的. 有些人會以這個敘述來作為函數連續的定義. 我們不這麼說的原因是希望能, (1) 早一點接觸 論證, (2) 早一點介紹連續函數, 使得對它能建立一點直覺.

閉區間上的連續函數

所謂柯西的積分理論是什麼呢? 就是說閉區間上的連續函數必可積. 可積的意思就是曲線下的面積有限. 而曲線下面積的意思又是什麼呢? 根據柯西自己提出來的定義, 那就是曲線的 (今天所稱的) 黎曼和數列收斂. 那麼, 柯西的積分理論有什麼需要證明的呢? 最基本的, 我們須要證明如果 f(x) 是個在 [a,b] 區間上連續函數, 則其黎曼和數列必收斂.

我們已經認真學習了有關數列收斂性的課題. 現在, 我們要特別關注於閉區間上的連續函數, 看看它們有什麼特性.

閉區間上的連續函數有三大特性: 最大值定理, 中間值定理, 和均勻連續.

所謂最大值定理就是說閉區間上的連續函數有最大值 (maximum):


若 f(x) 在 [a,b] 中連續, 存在 使得
注意, 這裡談的是最大值, 而非相對極大值. 當然最大值有可能恰好發生在相對極大值 (如圖三十三), 但是未必 (如圖三十四).

圖三十三	圖三十四

閉區間中的不連續函數未必有最大值, 例如下面的兩種情況: 可補救 (如圖三十五) 與不可補救 (如圖三十六) 的不連續.

圖三十五	圖三十六

開區間中的連續函數未必有最大值, 例如 在開區間 (0,1) 中是連續函數, 但是顯然它在此區間內沒有最大值.

所謂中間值定理就是如果 則 f(x) 經過 (在 y 軸上) f(a) 與 f(b) 之間的每一個實數. 簡單而嚴格的說法如下.


若 f(x) 在 [a,b] 中連續且
則存在 使得 f(c) = 0.
顯然這也不是一般的函數都符合的性質. 例如圖三十五中的函數就沒有這個性質.

這兩個定理都很符合直覺上的認知. 但是所謂的均勻連續性就比較抽象了. 首先我們定義什麼叫做均勻連續, 注意它和在某點連續的定義有何不同?


如果對所有的 都找得到
使得 [a,b] 中任兩點 x₁, x₂, 只要
必有 則 f(x) 在 [a,b] 中均勻連續.
並非所有連續函數都是均勻連續. 例如 1/x 在 (0,1) 中連續, 但是固定間隔的兩點間的函數值差距卻是越靠近 0 點越大. 而所謂均勻連續的含義就是, 任給一個 都可以找到一個 使得當我們以 在 [a,b] 上做 (盡量) 均勻的分割時, f(x) 在每一段小區間之中的變化量都不會超過所要求的

習題