第十一講

在這一堂課裡, 我們將運用所謂的二分法技巧, 證明一系列的數學理論.

有界數列定理

假設 {x_n} 是個有界數列. 也就是說, 存在 使得

那麼, 檢查 和 這兩個區間, 其中至少有一個含有無窮多個 {x_n} 中的元素. [未完]

均勻連續定理

令 f(x) 在 [a,b] 中連續. 假設它不是均勻連續, 那麼就找得到某個 使得不論 有多小, 都找得到兩個 但是

現在, 針對這個 令 x¹_n, x²_n 為 [a,b] 中的兩個點, 符合 |x¹_n-x²_n| < 1/n 但是

則在數列 {x¹_n} 中, 若非有一個漸增的子數列, 就必須有一個漸減的子數列. 不管哪種情形, 都因為有上界或下界 (b 或 a) 而必收斂. (簡單地說, 因為 {x¹_n} 是個有界的數列, 所以它必有一個收斂的子數列.) 假定 x¹_nk 是 {x¹_n} 中的一組收斂的子數列, 而且 同理 在數列 {x²_n} 中也有一個收斂的子數列 x²_nk 由於 當然也有 換句話說, 由 f(x) 的連續性, 根據收斂的定義, 必定存在一個定數 K > 0, 使得凡是 k > K 則 這和 (1) 式矛盾. 故前面的非均勻連續之假設不成立, 所以就是均勻連續.

中間值定理

接著, 我們再一次利用所謂的二分法證明中間值定理. 其實這個證明的方法也是實際上以電子計算機估計零根的方法之一.

令 f(x) 是 [a,b] 上的連續函數且 如果 f(a)=0 或 f(b)=0 則得證. 否則定義 [a₁,b₁] = [a,b], 取中點 m₁=(a₁+b₁)/2. 如果 f(m₁)=0 則得證. 否則定義

依此類推, 若已經定義了區間 [a_k, b_k], 則取 m_k = (a_k+b_k)/2, 而定義 這樣一來, 我們就有了一組層層相套的閉區間 根據實數的完備性, 這些閉區間有個非空集合的共同交集 但是因為 所以 亦即 的長度趨近於零. 其實 之中只有一個點, 名之曰 c.

由於 f(x) 在 [a,b] 中的每一點連續, 故

所以 但是由 [a_k,b_k] 的建構程序, 如果其極限 f(c)² > 0, 這表示, 若取 則存在某數 K, 使得 矛盾. 所以 f(c)² = 0, 故 f(c)=0. 得證.

最大值定理

如果 f(x) 在 [a,b] 中連續, 則根據其均勻連續性, 可以證明 f(x) 的值域所成的實數 (非空) 子集合有上界. 根據實數的完備性而知其有最小上界, 名之曰 現在我們需要證明的是, 是否真的有一個點 達到 如果有的話, 則 就證得了最大值定理.

習題

1. 證明最大值定理. 也就是, 證明真的有一點 達到 [我建議您再一次使用二分法. 摹仿中間值定理的證明. 如果 或是 則得證. 否則定義 [a₁,b₁]=[a,b], 令 m₁ 為其中點. 若 則得證. 否則 f(x) 在 [a₁,m₁] 與 [m₁,b₁] 中仍分別是連續函數. 故在此二區間中的值域亦各有一個最小上界. 由於 是 f(x) 在 中的最小上界, 故上述的兩個最小上界, 至少有一個是 如果 [a₁,m₁] 中的最小上界是 我們定義 [a₂,b₂]=[a₁,m₁], 否則定義 [a₂,b₂]=[m₁,b₁]. 接下來, 您就應該知道如何進行了.]
2. 模倣所謂的最大值定理, 敘述並證明一個最小值定理.