第十二講

柯西積分定理

所謂柯西積分定理就是說閉區間上之連續函數的黎曼和數列必收斂. 令 f(x) 在 [a,b] 中連續. 取 n 為一正整數, 我們先複習黎曼和 S_n 的定義. 將 [a,b] 均勻分割成 n 個區段, 取其間隔為 而分割點為 {x₀ = a, x₁, ..., x_n}. 令 是 [x_k-1, x_k] 中的任意一點, 則 n 段的黎曼和就是

我們要證明 存在.

取 f(x) 在 [x_k-1, x_k] 中的最小上界, 名之曰 M_k. 取 f(x) 在 [x_k-1, x_k] 中的最大下界, 名之曰 m_k. 令

顯然 現在, 只要證明了 和 分別存在且極限值相等, 就可以引用夾擊定理, 證明 存在 (而且其極限值, 也就是積分值, 等於 或是

我們先驗證 (光是這樣還不能說 因為我們還不知道 和 是否各自存在. 比如說, 但是 卻是發散的.) 任給 由於 f(x) 在 [a,b] 中均勻連續, 所以存在 使得舉凡 x₁, 且 則必 現在, 我們選 n 足夠大使得 則 f(x) 在 [x_k-1, x_k] 中的變化量就 所以

因此

討論特殊的分割數 2^k. 我們很容易可以觀察

依此類推可以得到 故 是個漸增有上界之數列, 而 是個漸減有下界之數列. 根據實數的完備性, 此二數列各自收斂. 根據 (1) 式, 我們可以論斷它們收斂到同一個數, 名之曰

回到一般的分割數 n. 利用類似 (2) 式的觀察, 對任何 n 和 k, 都有以下的關係

夾擊之, 得 但是與 (3) 同理可得 對 k 取極限後得 所以 對 n 取極限, 由 (1) 之結論, 得到 所以 那麼 也就跟著存在了, 極限亦是 L.

此處寫的證明和柯西在 1823 年首度提出的證明不盡相同. 但是觀念上都牽涉到了最基本的兩件事情: (1) 實數的完備性, (2) 閉區間上的連續函數必為均勻連續. 在柯西的年代, 他理所當然地引用了這兩個觀念, 卻沒花工夫去說明. 也許可以說, 在那個年代, 數學還沒有發展到這種觀念上的細節.

這個積分定理和古老的面積觀念是相容的. 比如說, 根據這個定理計算長寬為 L, W 的矩形面積仍是 LxW.

微積分基本定理

我們只討論 f(x) 是 [a,b] 上的連續函數的情形.

由最大值與最小值定理, 存在 m 和 M,

根據黎曼和的定義, 對 n 取了極限之後 (前面證明了, 這個極限值存在), 就有 令 則 根據中間值定理, 存在 結論是, 存在 稱之為積分平均值定理.

定義積分函數

例如當 [0,1] 之間 f(x) = 1 的時候, F(x) = x. 由積分平均值定理, 存在 (h>0), 所以, 根據 f(x) 的連續性, 可證當 h < 0 的狀況亦同. 所以, 或寫成 這就是第一形式的微積分基本定理. 它說明了 的對應關係. 換句話說, 積分與微分互為逆運算. F(x) 的導函數是 f(x), f(x) 的反導函數是 F(x).

如果我們令 G(x) 是任意一個具有 G'(x) = f(x) 性質的函數. 則由微分的線性關係, 我們知道

所以我們確定的是 F(x)-G(x) 的導函數是 0. 因此 F(x)-G(x) 未必是 0, 只能說 F(x)-G(x) 是個常數, 暫且稱之為 c. 所以 但是 所以這個 c (隨 G 而改變) 必定是 c = -G(a). 亦即 於是我們得到所謂第二形式的微積分基本定理 (我們把 G 的名字換成了 F, 把 x 換成了 b):
若 F(x) 是任意一個具有 F'(x) = f(x) 性質的函數, 則
我們利用這個定理來求 f(x) 在 [a,b] 區間的定積分的值.

習題

1. 證明 這叫做共同細分割關係. (如果你發現很難嚴格地說清楚, 至少舉例說明.)
2. 如果一個收斂數列 x_n 的每一項都符合 x_n < A, 並不表示 例如 -1/n < 0, 但是 一般而言, 我們可以證明的是, 如果對所有的 n, 都符合 x_n < A, 則 證明之. [注意, x_n 不必是漸增或漸減的. 其實我們的講義中已經證過類似的現象了, 你找得到嗎?]
3. 若 為什麼 你的最嚴格的解釋是什麼?