第十三講

微分技巧

牛頓之於微積分的突破性貢獻, 除了微積分基本定理之外, 就是發現了許多基本函數的微分公式. 而萊布尼茲的導函數符號, 幫助許多人輕鬆地記住微分技巧的公式. 由於積分與微分互為反運算, 掌握了微分的技巧, 也就幾乎掌握了積分的技巧.

讓我們回顧, f(x) 在某點 可微的定義就是 f(x) 在 的導數存在, 也就是說,

的極限值存在. 這種如 (1) 式中求極限的動作叫做微分, 而其極限值記作 如果我們在數學上確定了 的存在性, 則可以用計算機估計其值. 比如說, 可以定義數列 並計算 n=1, 2, 4, 8, ... 等值, 觀察其收斂情形, 一直到 {d_n} 的十進位表示數都穩定於某些定數為止.

如果 f(x) 在某個開區間 (a,b) 中的每一點都可微, 則稱 f(x) 在 (a,b) 上可微. 在此情況下, 可以將

的映射定義成一個新的函數, 稱為 f(x) 對 x 微分的導函數. 以萊布尼茲符號, 記作 亦簡記作 而 f(x) 在 的導數就記作

如果某個函數 f(x) 在 (a,b) 內可微而且, 我們知道它的導函數 f'(x), 則我們就不需要運用計算機來估計 的值, 我們可以 (至少在數學意義上) 準確地知道 的值; 也就是把 f'(x) 代入

有哪些可微函數可以寫出其導函數呢? 所有的基本函數都可以. (或許, 這是它們之所以被成為基本函數的原因吧?)

讓我們從冪函數開始. 令 f(x) = x_n, 其中 n 是個正整數. 則由微分的定義, 以及二項展開公式, 我們得到

(當 n=0, 也就是常數函數的微分, 是 0.)

由微分的定義, 我們輕易可以證明, 微分具有線性性質. 也就是說,


如果 f(x) 可微而 c 是一實數, 則 cf(x) 亦可微, 而且
和
如果 f(x) 和 g(x) 均可微, 則 f(x) + g(x) 亦可微, 而且
由此可知, 多項式均可微,

由

可以推得微分乘法律
如果 f(x) 和 g(x) 均可微, 則 f(x) g(x) 亦可微, 而且
可以簡記作 (fg)' = f'g + fg'. 另一個簡單的記憶方式是,

所以, 如果需要求 (x+1)(x²+x+1) 的導函數, 不須先將兩個多項式乘開, 直接算

即可.

反函數微分律及串聯微分律 (chain rule) 是萊布尼茲符號的最極至表現.


如果 y = f(x) 可微且其反函數 f^-1(y) = x 存在, 則其反函數亦可微, 而且
例如 n 是正整數, 則開方根函數 的反函數是 所以 因此




如果 f(x) 與 g(x) 均可微且 g 之值域在 f 之定義域內,
則其合成函數 f(g(x)) 亦可微, 而且
例如, 令 m 是一個正整數, 就可以想作 更正式一點說, 就是 所以, 根據串聯微分律,

串聯微分律幾乎是最重要的微分技巧. 比如說, 可以想作

所以, 應用串聯微分律,

如果 x 是一個自變量, y 隨著 x 而改變, 通常我們把 y 和 x 之間的關係寫成一個函數形態

y = f(x). 如果能寫成這個樣子, 我們稱 f(x) 是 y 的顯函數表達. 例如上半單位圓的顯函數表達是 而下半單位圓的顯函數表達則是 這樣的圓的表達式固然精確, 但顯得冗長. 我們有另一種表達式, 例如熟知的 這時候自變量 x 和其隨變量 y 混合寫在一個式子裡面, 比如說 f(x,y)=0. 我們稱 f(x,y) 是 y 的隱函數表達.

所謂隱函數微分, 就是將以上所知的各種微分律應用在

上面, 並因為 dx/dx = 1, 所以最後留下一個以 為未知量的等式. 由此求 dy/dx. 例如 故解得 若代入上半圓的顯函數, 則得 您可以用串聯微分律驗證這個結果.

到此為止, 根據 (2), (3), (4) 式, 我們知道, 當 r 是個正有理數時

那麼, 令 寫成隱函數即是 所以 解得 所以, 我們看到 (注意當 r=0 的時候, 右端是 0.)

最後, 利用乘法律, 串聯微分律以及 x^-1 的微分公式, 我們可以得到除法律.


如果 f(x) 與 g(x) 均可微且 f/g 有定義,
則 f/g 亦可微且

實冪數

我們曾經說過, 在觀念上, 我們只知道如何計算以有理數為冪數的冪函數. 因為有理冪數只是做整數乘方和整數開方的算術. 那麼我們該如何定義實數的冪次呢? 比如說 現在, 我們可以回答這個問題.

首先, 根據實數完備性的觀念, 我們可以理解, 每個無理數都可以成為一個漸增 (減) 有上 (下) 界的有理數數列的極限. 換句話說, 每個無理數都可以被一個漸增 (減) 有上 (下) 界的有理數數列所逼近. 例如我們熟知的 {q_n} 數列 就可以拿來逼近

其次, 我們可以輕易看出, 指數函數 f(r) = x^r 應該是個連續函數. 根據連續性, 如果 收斂, 則

例如

所以, 當 r 是個無理數的時候, 我們可以定義 x^r 就是 x^r_n 的極限, 其中 {r_n} 是一個有理數數列, 而 從逼近的角度來看, 如果 是個很靠近 r 的有理數, 則由連續性, 也就很靠近 x^r. 例如 x^1.414 靠近 所以, 在計算上, 我們總是選一個靠近實數 r 的有理數 用 來估計 x^r.

由於 r x^r-1 也顯然是個 r 的連續函數. 所以, 當 r 是無理數的情形, 也可以如同上述的作法來定義 r x^r-1. 因此, 我們可以結論:


對所有

習題

我們將以電腦程式來計算較為複雜的微分. 我們將選擇一百題最基本形式的微分問題, 同學們至少須會以紙筆做這一百題的演算. 這裡有四十題. 這些演算習題不必交, 我們將以小考的形式驗收.

• 課本 197 頁習題 1--7, 10--18, 30.
• 課本 210 頁習題 8, 9, 11, 13--19.
• 課本 215 頁習題 1--5.
• 課本 232 頁習題 1--4, 9--11.
• 課本 237 頁習題 3.

1. 推導微分的除法律.
2. 課本 4.2 習題 31, 42.
3. 課本 4.4 習題 27, 29, 30.
4. 課本 4.5 習題 33.