第十四講

冪函數的微分與積分

前面我們冪函數微分的種種情況都仔細地檢查了一遍, 發現一個一致的公式


對任何
從這個微分公式, 再利用微積分基本定理, 我們也得到了一套基本的積分公式.
對任何 其中 C 是任意常數.
這種有個任意常數的型式, 又稱為不定積分. 它是個一般性的公式. 但通常我們在應用的時候, 都是需要某函數在某區間內的積分, 那就稱作定積分 (definite integral). 用定積分的型式再寫一遍冪函數的積分公式, 就是
對任何


對於 r=0 的特殊情形, 也就是常數函數的情形. 我們知道常數函數的微分是 0. 因為它沒有變化, 所以變化率是零. 於是 0 的反導函數, 或說不定積分, 是任意一個常數函數. 但是 0 的定積分值必是 0, 因為它的曲線下沒有面積.

三角函數的微分公式

現在, 我們有了最基本的兩套微分公式: 1'=0 和 (x^r)' = rx^r-1. 讓我們利用微分的定義和幾個基本的定律, 來推導三角函數的微分公式.

首先當然要說到 sinx, 它幾乎代表了所有的三角函數. 在這裡, 我們的 x 都是以徑度量來測度的. 也就是說, x 是單位圓上對應某個張角的的圓周長度. 所以, 角度的 360 度就是 一個基本的幾何公式說, 以 x 為 (徑度量) 張角, r 為半徑的扇形面積是

(一整個圓就是 的扇形.) 如下圖.

圖三十七

對任一個 x, 由定義, 若

收斂, 則 sinx 可微且導數為其極限. 利用基本的和差化積公式, 如果 分別存在, 則 (1) 式中的極限就會存在.

有的同學或許這時候會想到一個稱為羅必達法則的公式. 我想, 我們還不需要這種時髦的東西. 讓我們欣賞一個古典的做法.

參照圖三十八.

圖三十八

圖中的角度是 x, 扇形 OAB 的半徑是 1. 換句話說, 弧線 AB 的長度是 x. OB 射線與 OA 的垂直線相交於 D. 很明顯地,
三角形 OAB 的面積 <= 扇形 OAB 的面積 <= 三角形 OAD 的面積.
由於 OB 的長度是 1, 根據 sin 的定義, 三角形 OAB 的高是 sinx. 由於 OA 的長度是 1, 根據 tan 的定義, 三角形 OAD 的高, 也就是 AD 的長度, 就是 tanx. 所以, 當 x 足夠小而又不為 0, 比如說 則 sinx>0. 於是可得 或者 因為 cos(0)=1, 所以顯然由夾擊定理得 當 的情形, 也可以得到一樣的結果, 就不多說了. 所以我們結論

現在, 用一個類似有理化分子的基本技巧,

因為 (2) 式右邊的三項分別取 的極限存在, 依序是 1, -1/2 和 0, 所以

現在, 我們只是把趨近於 0 的變數從 x 換到 h, 就得到

因此, 得到了三角函數的基本微分公式:
sinx 在任何點 x 都可微, 而且
這個簡單的公式, 只有當 x 是徑度量的時候才對. 或許這是為什麼我們用徑度量的原因吧.

速度的競賽

讓我們且慢推衍其他的三角函數微分公式. 再回頭多看一眼

當 的時候, sinx, cosx-1 和 x 都是趨近於 0 的. 而它們的比值卻有不同的極限, 這代表了什麼意義?

讓我們看一些更簡單的情形. 當 的時候, x 和 x² 都是趨近於 0 的. (我們定義, 這個符號, 就是語言上說 x 趨近於 y 的意思.) 但是,

(其中的無限大符號在這裡就表示發散的意思.) 在這裡, 我們要提出速度的看法. 固然 x 和 x² 都趨近於 0, 但是速度不同. 直覺上, 我們會同意 的速度遠快於 的速度. 所以, 在 中, 分子趨近於 0 的速度遠快於分母趨近於 0 的速度. 因此極限是 0. 在 中, 分母趨近於 0 的速度遠快於分子趨近於 0 的速度. 因此發散. 但是直覺上感到 的速度比 的速度快, 就要稍作修改. 因為 我們說 的速度和 的速度一樣快 (或一樣慢), 而當它們都趨近於 0 的時候, 它們保持一定的比例, 也就是 0.00001. 這個比例常數的重要性, 遠遠比不上冪次的重要性. 比如說 0.00001x 和 x^1.00001 來比, 可見 的速度還是比 的速度快得多.

現在, 我們就瞭解, (3) 式的意義就是, 當 的時候, 的速度和 x 本身趨近於 0 的速度一樣快, 而且比例常數是 1. 但是 的速度就遠快於 的速度. 在一個習題裡面, 您將看到, 其實 的速度和 的速度一樣快, 當然就遠快於 的速度.

應用數學常常是記量的數學, 所以, 除了關心收斂不收斂的問題之外, 收斂的速度, 更是應用數學家或是科學家所要仔細研究的. 比如說, 當我們要用某個計算方法, 寫個電腦程式算出一個數列 {x_n}, 使得 limx_n 逼近某數 x. 在數學上, 當然需要證明 limx_n = x. 基於這種數學理論上的保證, 我們才能相信, 當 n 夠大之後 (也就是說, 電腦疊代了夠多次之後), x_n 的值就很靠近 x 的值. 這時候, 如果 的速度有如 的速度, 電腦要花 100,000,000 個疊代步驟才能得到 0.1% 誤差的估計值; 那麼, 如果 的速度有如 的速度, 電腦可能只要花 100 個疊代步驟就能得到 0.1% 誤差的估計值了. 其間的差異, 真是非常的大.

再換個角度, 的意義就是, 當 x 靠近 0的時候, 我們記做 sinx 很靠近 x. 參照圖三十九. 而經過一個簡單的變數變換, 可見

意思是說, 當 x 很大的時候, 很靠近 我們已經討論過, 當 x 靠近 0 的時候, 急速地振盪. 但是, 顯然當 之後, 就不再振盪. 現在我們更知道了, 當 就不再振盪之後, 它的圖形就像 一樣緩降到 0. 參照圖四十.

圖三十九

圖四十

三角與反三角函數的微分與積分公式

所有三角與反三角函數的微分公式, 都可以用 sinx 的微分公式配合微分律推衍出來. 理由很簡單, 因為所有三角函數都是從 sin 函數定義出來的. 例如 (意思是, cos 函數與 sin 函數恰好差 的相位角). 利用串聯律, 令 則

利用除法律, 同時也就有了這些不定積分的公式

利用反函數微分律, 令 x = siny, 則

參考下圖之直角三角形 ABC, 若斜邊 AC 之邊長為 1, BC 邊長為 x, 則底邊 AB 之邊長為

圖四十一

由畢氏定理得知 故 如果我們定義 sin^-1 的值域在 則它是漸增函數, 所以應該取正值. 故 用完全一樣的想法, 我們得到 的值也應是 但是因為我們定義 cos^-1 的值域在 故為漸減函數, 應取負值, 所以

所以, 其實我們也得到了一組不定積分公式

或者 這看起來頗為可疑. 其實不然. 因為 所以 可見, 前面的兩個公式都對, 只是那兩個 C 不一樣. 後面的 C 是前面的 反正它們兩個 C 都是任意常數. 一般來說, 我們令

仍然是利用反函數微分律, 令 x = tany, 則

對應的積分公式是 這個積分公式對所有的 x 均成立. 特別注意定積分 所以, 用數值方法去估計 的值, 也就相當於估計 的值.

習題

這裡再有二十五題演算. 這些演算習題不必交, 我們將以小考的形式驗收.

• 課本 222 頁習題 1--4, 6, 10, 11, 14, 19, 20.
• 課本 228 頁習題 13--16.
• 課本 232ff 頁習題 5, 8, 12.
• 課本 238 頁習題 11--16, 19, 21.

1. 利用類似 (2) 式的技巧求 這意味著, 當 x 很靠近 0 的時候, 1 - cos x 靠近的圖形應該和什麼函數的圖形非常靠近呢? 再換句話說, 當 時, cosx 趨近於 1 的速度和 xⁿ 趨近於 0 的速度一樣, 這個 n 是多少?
2. 考慮下列函數, 把那些在 0 (右邊) 附近彼此非常靠近的分成一類. 如果必要, 你可以用 Maple 畫畫看. 但是你應該要可以不靠電腦而自己想得出來.
3. 因為 可見當 時, 趨近於 0 的速度和 趨近於 0 的速度一樣. 依據這個理由, 猜測以下三個極限問題是收斂還是發散?
4. 若 x 以角度量為單位 (從 0 度到 360 度), 求 sinx 的微分公式.