第十五講

課本 4.3 歐拉數

Euler (1707--1783) 是十八世紀最主要的數學家, 算是銜接在牛頓和高斯之間的一位數學巨人. 在他 1748 年出版的書 (或譯做``無窮小分析導輪'') 裡, 首次提到了 e 這個常數. 今天, 常數 e 在科學界的重要性, 足以和常數 相當.

一般而言, 其中 是一個和 a 有關的固定常數. 課本以追求

也就是 為目標而推導了 e 的定義 歐拉當時用以下的論述, 配合這樣的觀察 (這裡的 1 <= k <= n) 導出了今天所謂的 e 的泰勒級數: 回顧 (1) 式, 它表示當 n 很大的時候, nⁿ 和 n! 差不多一樣大; 或說, 的速度和 的速度幾乎一樣快. 其實, 針對 nⁿ 和 n! 的比較, 有一個更精確的 Stirling (1692--1770) 公式 (當 n 很大的時候):

從 (2) 式, 我們看到


2 < e < 3.
所以 e 不會是一個整數. 假如 e 是有理數, 則 e = k/m, 其中 k, m 為整數, 而且 m 不為 1. 所以, 將上式通通乘上 m!, 則得 但是 是個整數, 不可能介於 0 和 1 之間, 故矛盾. 所以, e 是無理數. 由數值計算, 得到 e 大約是 2.71828.

自然對數函數

我們已經知道, 指數函數 a^x (a>0) 必然有一個反函數, 我們稱它為對數函數 log_ax. 特別是以 e 為底的對數函數 log_ex, 稱為自然對數函數, 記做 lnx. 它之所以自然, 是因為 (由反函數微分律)

所以 由於 ln(1)=0, 所以,

函數 e^x 和 lnx 很明顯地, 都是連續函數. 那麼, 對任意 (一個給定的) 實數 x>0,

由積分平均值定理, 存在某數 使得上式 所以, 類似於前面的歐拉論述方法, 我們可以得到

由 (3) 和 (4) 式, 我們得到一對估計 lnx 和 e^x (x>0) 數值的計算方法. 由於它們計算上的方便, 任何指數與對數函數都是經由它們計算的:

也因此得到了最後一套基本微分公式:
對任意 a>0, 指數函數 a^x 皆可微, 而且


指數對數表, 計算機.

課本 2.8, 4.9 不可微的狀況

若函數 f(x) 在 x₀ 處不連續, 則必在此不可微. 但連續處未必可微. 大家可以已經熟知的例子是 |x|. 它是個連續函數, 但是在 x=0 處不可微.

如果 f(x) 在 x₀ 處可微, 那麼局部而言, f(x) 的圖形大約就是其切線圖形: y = f'(x₀) x + c.

定幾個小數 h>0, 在 正方格內畫出 f(x) 的圖形, 若是在點 (x₀, f(x₀) 附近這個局部的圖形像是一條直線, 那就表示, f(x) 很可能在 x₀ 處是可微的; 而這條直線的斜率就是導數. 當然, 確實的情況, 還需要用數學上可微的定義來驗證.

例如, 觀察 和 的小方格圖形: (圖四十二---四十五).

圖四十二

圖四十三

圖四十四

圖四十五

這四張圖都是以 (0,0) 為中心: 圖四十二與四十三分別以 h=0.1 和 0.01 做方格半徑, 觀察 圖四十四與四十五分別以 h=0.1 和 0.01 做方格半徑, 觀察

習題

這裡有最後三十五題演算. 這些演算習題不必交, 我們將以小考的形式驗收.

• 課本 204 頁習題 7--18.
• 課本 210 頁習題 3--7.
• 課本 216 頁習題 13--24.
• 課本 228 頁習題 5--8.
• 課本 232 頁習題 6, 7.

1. 課本 2.8 習題 1. 請問 f₁(x) 和 f₂(x) 各是什麼函數? 函數 f(x) 是否在 0 連續? 使用 Maple, 觀察 f(x) 在 方格內的圖形. 畫 的程式範例如下:

       f := x*sin(1/x);
       h := 0.1;
       plot(f, x=-h..h, y=-h..h);
   

   由這些圖形的觀察, 你認為 f(x) 是否在 x=0 處可微? 請用微分的極限定義來驗證你的觀察.
2. 課本 2.8 習題 6. 利用以下的 Maple 指令來觀察 g(x) 圖形:

       g := x -> if abs(x) <= 2 then (1 + cos(Pi*x/2)) else 0 fi;
       plot(g, -3..3, -3..3);
   

   注意這個函數的圖形如鐘 (Bell function). 回答課本上的 (a), (b) 兩個問題.
3. 課本 4.3 習題 39 [證明 e^x 的圖形是向上凹, 所以函數圖形在切線的上方], 習題 40.