第十六講

課本 1.8 複利和 e

當累進利息的次數越來越頻繁 (每年一次, 每季一次, 每月一次, 每週一次, 每天一次, 每小時一次, ...), 則存款 k 年後的本息 = (本金)(1 + kr/n)ⁿ, 也就是大約等於 (本金)(e^kr), 特別是當 n 夠大的時候. 此中, r 是年利率 (比如說 6.25%, 則 r=0.0625), n 是一年中累進利息的次數.

課本 5.1 極大與極小

臨界點. 相對極大與極小, 絕對極大與極小. 函數漸增段落與漸減段落的判斷. 用圖形來輔助判斷, 如 250 頁 Example 4, 5.

課本 5.2 二次導數

f''(x₀)=0 表示 x₀ 是一次導函數 f'(x) 的臨界點. 通常 (當 f'(x₀) 不等於 0), f(x) 在此達到相對極大瞬間變化率, 或是相對極小瞬間變化率; 或者說, f(x) 在此改變向上或向下凹的狀態. 否則 (當 f'(x₀) = f''(x₀) = 0), 就要比較詳細的檢查. 例如 x³ 和 x⁴ 在 x=0 處的表現.

第 259 頁 Example 7. 直覺上, 水面高度函數 h(t) 如圖 5.28. 但是, 數學模型是一個積分方程式

課本 5.3 函數型錄

三次多項式所造成的曲線, 特別具有應用上的意義, 因為 CAD, outline font. 強阻尼振盪 xe^-bx, 一般阻尼振盪 e^-bx sinvx. 漸近函數 a(1-e^-bx). 常態分佈函數

課本 5.4 一些經濟學名詞

成本函數 (Cost function C(q), q: 貨物量 (quantity)). 收入函數 (Revenue function R(q)). 獲利函數 (Profit function P(q)). 邊際效應. 最大獲利點. 這些數學都是很簡單的. 問題是, C(q) 和 R(q) 的定量描述是非常困難的. 牽涉到人類社會制度, 生活習慣, 文化背景, 心理因素, 這許許多多很難量化的學問, 實在很難用數學來解釋或預測.

習題

課本 5.1 習題 13, 14 [或許你應該先用 Maple 畫個簡圖, 以幫助你判斷. 例如
```
plot(sin(x)^2 - cos(x), x=0..Pi);
```
課本 5.1 習題 23, 24.
課本 5.2 習題 17, 18, 22--25.
課本 5.2 習題 28, 29.
課本 5.3 習題 7, 8, 15. 這些問題所遇到的函數可能複雜了一點. 您或許可以開始練習利用 Maple 作為解決問題的幫手. 一些程式範例如下.
```
f := 1/((1-x^2)^2 + 2*x^2);
plot(f, x=0..10);  (先觀看一個大概)
fp := diff(f,x);
solve(fp, x);      (試試看能否算出臨界點)
plot(fp, x=0..10);
```
課本 5.4 習題 8.