第二十二講

課本 8.1 從黎曼和到積分式

有時候, 我們把明明是離散的問題給連續化了, 以便運用微積分為工具. 這樣求得的結果, 和直接處理離散問題所得的結果應該是稍有不同的. 但是, 當量很大的時候, 其間的差異是很小的. 我們看到, 連續化之後的問題, 在取了極限之後, 往往將複雜的離散問題變得簡單了. 這是微積分, 或者說是極限觀念, 的威力. 今天, 由於電子計算機的發達, 某些當年難以處理的大型離散問題, 變得可以處理了.

注意, 當 N 很大, 很小的時候, f(x) 在 [x_k, x_k+1] 之間的函數值可以用任一點 代替. 我們不寫 就簡單地用 f(x) 來表達了. 這是建立黎曼和的重要步驟. 如果你的黎曼和中出現了 和 項, 則取了極限 之後, 你可以忽略 也就是說, 而

還有, 要注意所有物理單位的一致性.

課本 8.2 截面積與體積

一張紙很難量度厚度, 但是 300 張紙就容易測量了. 把看似沒有體積的薄薄的紙疊在一起, 就有了體積. 這就是由截面積求體積的想法. 其實, 數學技術上, 仍然是成立其黎曼和而後取極限.

旋轉體體積和弧長.

課本 8.3 功, 力, 壓力

回憶以下這個物理定律:


功 = 力 X (在施力方向上的位移).
所以, 如果你提著一桶水在平面上走了一圈, 在此物理意義上, 沒有作功. 因為提水的力是向上的, 而位移是水平的. 回憶力的單位, 牛頓 (Kg m/sec²); 公斤 (Kg) 是質量單位, 重量是力. 提著 7 Kg 的水, 施力 7x9.8 牛頓. 焦耳 (joule) 是功的單位 (牛頓公尺). 壓力單位: 牛頓/米².

課本 8.4 積分與經濟學

也是一種連續化的離散問題. 供需曲線 Fig 8.30 的解釋.

習題

1. 課本 8.1 習題 1, 2.
2. 課本 8.1 習題 3. 用 Maple 做這一題的 (a), (c) 部分. [int(rho, x=0..20);]
3. 課本 8.2 習題 14.
4. 課本 8.2 習題 16.
5. 課本 8.2 習題 21.
6. 課本 8.2 習題 23, 敘述你的數學模型, 用 Maple 估計其值到六位有效數字.
7. 課本 8.3 習題 1, 6, 7.
8. 課本 8.3 習題 10.
9. 課本 8.3 習題 15.
10. 課本 8.4 習題 2.
11. 課本 8.4 習題 6.
12. 課本 8.4 習題 9.
13. 課本 8.4 習題 10.