第二十五講

當初 Taylor 的問題是, 如何將一個一般形式的多項式 a_n xⁿ + ... + a₁ x + a₀, 改寫成 x-x₀ 的多項式 (此處 x₀ 是任一個常數)? 也就是說, 如果

推廣一點, 我們可以定義所謂的泰勒多項式如下.

因為 (1) 式, 我們想像 p(x) 在 x₀ ``附近'' 應該很 ``靠近'' f(x₀). 例如參考課本 10.1 節的圖 10.4 (sinx 在 0 附近的 7 階泰勒多項式, 在 之間很靠近 sinx), 圖 10.5 (cosx 在 0 附近的 8 階泰勒多項式, 在 之間很靠近 cosx), 圖 10.6 (e^x 在 0 附近的 4 階泰勒多項式, 在 (-2, 2) 之間很靠近 e^x), 圖 10.8 (lnx 在 1 附近的 4 階泰勒多項式, 在 (-1/2, 1/2) 之間很靠近 lnx). 但是,

首先, 我們可以觀察到 (泰勒當然也觀察到了), 如果 f(x) 本身就是一個多項式的話, 那麼它可以在任意點 x₀ 附近取任意高階的的泰勒多項式 (因為 f(x) 在任意點處都有任意高階導數, 大不了是 0). 我們何不把這泰勒``多項式''寫到無窮多階呢? 無窮多階的``多項式''就不再叫一個``多項式''了, 它叫做冪級數 (power series). 其一般形式就是

特別當 x₀=0 的時候, 泰勒級數就是 又稱做麥克勞林 (Maclaurin (1698--1746), 史稱此君是牛頓最成功的門徒. 不過, 此人出生的時候牛頓已經五十六歲了, 他可能不是牛頓親炙的學生.) 級數. 這或許是因為他在 1742 年出版了一本介紹微分的書 (其實是介紹牛頓的流數術), 而泰勒級數也被包含在他的書裡.

如果 f(x) 是個多項式, 則其泰勒級數 T(x) 其實只有有限項 (因為當 k 超過 f 的階數後, f^(k)(x) = 0.) 所以沒有 T(x) 收斂或發散的問題. 而且 f(x) 和 T(x) 不僅是``靠近''而已, 它們其實``相等'' (T(x) 不過是 f(x) 換一個形式的寫法而已). 但是, 如果 f(x) 是個一般的函數 (例如基本函數中的有理函數, 指數對數函數, 三角函數), 事情可就沒有這麼簡單了. 我們首先應該搞清楚, 冪級數是什麼意思? 模倣級數的部分和定義, 我們做如下的定義:

至此, 我們有了第二個問題:

由於時間的限制, 我們將割捨所有理論推導的部分, 而只能綜合介紹結論.

課本 10.5 綜合理論

如果 f(x) 在 x₀ 處至少 n+1 次可微, 且其第 n+1 次之導函數連續.
令 p_n(x) 為 f(x) 在 x₀ 附近的 n 階泰勒多項式, 則 其中 是 x 和 x₀ 之間的某一個數.
R_n(x) 稱為 p_n(x) (n 階泰勒多項式) 與 f(x) 之間的誤差項, 或是餘式. 有幾種不同的表達 R_n(x) 的方法, 上述是所謂 Lagrange (1736--1813) 表達式. 我們無法確知 是何物, 但是, 上述理論至少有兩個推論. 第一, 令 h>0, 如果在 [x₀-h, x₀+h] 的範圍之內 (x₀ 的``附近''), (連續函數在閉區間中有最大值和最小值), 則可以估計 如果固定了 n 和 h, 那麼 L 和 M 也跟著固定了. 所以可以估計 p<sub>n</sub>(x) 有多麼``靠近'' f(x). 如果有泰勒級數, 那就要問, 當 h 在什麼範圍內 (x 有多麼``靠近'' x₀), 注意, L 和 M 也許會跟著 n, x₀ 和 h 變化. 例如當 f(x) = 1/x 的時候.

如果 limR_n(x) = 0, 那麼也就是

所以泰勒級數若收斂, 其極限函數必定是 f(x). 而且, 以泰勒多項式逼近函數 f(x) 的情況果真就像以十進位的小數逼近實數一樣, 越後面的項越小; 也就是說, 當 n 越大, 就越小. 隨著 n 的增加, 泰勒多項式也就越來越``靠近'' f(x), 而其``靠近的程度''就是 |R_n(x)|.

第二, 若取 n=1, 則得

其中 是某個介於 x 和 x₀ 之間的數. 這意味著, 如果 f(x) 在 [a,b] 區間內的割線斜率 (平均變化率) 是 c, 則在 [a,b] 之中必有一點 使得 f(x) 在 的切線斜率 (瞬間變化率) 也是 c. 這叫做微分平均值定理.

課本 10.2 重要的泰勒級數

泰勒多項式的發現, 想必使得牛頓回憶起自己早年 (二十三歲) 發現的二項級數 (binomial series) (史稱此為牛頓在數學上的第一個貢獻. 時值 1665 年, 牛頓剛從劍橋畢業, 回到鄉下躲避瘟疫. 此後的十二年, 他獨力寫下了微積分基本定理和萬有引力原理, 發現了光的三原色, 還發明了反射望遠鏡.)

e^x, cosx, sinx 在 0 附近的泰勒級數, 其實在整個 R 上都會收斂. 以 e^x 為例,

其中 是某個介於 x 和 x₀ 之間的數. 任給定一個實數 x, 令 那麼, 隨便指定一個 則取 每當 n>N, 所以

注意 sinx 和 cosx 的泰勒 (麥克勞林) 級數, 它們對應了 sinx 和 cosx 分別為奇函數和偶函數的性質.

歐拉公式 複數平面的單位圓.

課本 10.3 泰勒級數的變化和應用

如果 f(x) 和 g(x) 都在 x₀ 處有一次以上的導數, 而且 f(x₀) = g(x₀) = 0. 則

稱為不定形 (indetermined form) 之極限問題. 因為 f(x) = f'(x₀) (x-x₀) + f''(x₀)(x-x₀)² + ..., g(x) 亦類似, 所以 上下各除一個 x-x₀ 項, 而且如果 f'(x₀)/g'(x₀) 不再是不定形, 這就是所謂的羅必達 (L'Hôpital, 1661--1704) 法則. 這雖然是個方便求極限的工具, 但是不能告訴我們收斂的速度. 直接使用泰勒多項式, 不但可以求得極限, 還可以告訴我們收斂的速度.

習題

1. 初學者常常以為一個函數如果可微就可以一直微分下去. 其實不然. 例如考慮 注意 本身在 0 點沒有定義, 但是因為 所以 f(x) 屬於可以補救的不連續. 只要定義 f(0) = 0 就連續了. 現在, 請您 (1) 以微分公式求當 的時候 f(x) 的導函數. (2) 以微分定義證明 f(x) 在 x=0 處是可微的, 而其導數值是多少? 所以 f(x) 的一次導函數 f'(x) 是存在的. 但是, 請證明: (3) f'(x) 在 x=0 處不連續. 因此, f'(x) 在 x=0 處不可微; 換句話說, f(x) 在 x=0 處恰僅有一次導數.
2. 初學者常常以為如果每個 f_n(x) 都是連續函數, 則它們的極限函數也連續. 其實不然. 例如在 [0,1] 區間中考慮函數數列 f_n(x) = xⁿ. 每個 f_n(x) 都在 [0,1] 中連續. 請證明 (1) 若 0 < x < 1, 則 limf_n(x) = 0; (2) 若 x=1, 則 limf_n(x) = 1. 因為對每個 [0,1] 內的 x, limf_n(x) 的極限值都存在, 所以可以定義函數極限 可見極限函數 f(x) 是不連續的.
3. 課本 10.5 習題 5, 7.
4. 從大園到中壢的距離是十二公里, 全線的速限是時速六十公里. 某人花了十分鐘開車走完全程, 而他宣稱自己絕對沒有超速. 請證明他說謊.
5. 課本 10.2 習題 19--24.
6. 課本 10.2 習題 31.
7. 課本 10.3 習題 1, 5, 8, 10, 11.
8. 課本 10.3 習題 18.
9. 課本 10.3 習題 20.
10. 課本 10.3 習題 23.