第三講

當我們提到課本的時候, 指的是我們的指定參考書:

Deborah Hughes-Hallett et al., Calculus, John Wiley & Sons, Inc. 1994. (新月進口)

課本 1.2 Linear Functions

當我們在探討分析類問題的時候, 所說的線性, 和在探討代數類問題的時候, 所說的線性有稍微的差異. 各位將在另一門稱為線性代數的課程裡面學到一種定義比較狹窄的, 所謂線性映射. 在此處, 我們說的線性函數其實就是一次多項式, 亦即

y = ax + b. 而線性映射必定是將零映射到零的, 也就是說, 沒有平移. 所以一維 (即單變數) 的線性映射就是 y = ax. 可見一維的線性映射實在沒有太多發揮的空間. 所以, 在線性代數課程裡面, 我們都探討高維 (多變數) 的線性映射. 而加上平移的線性映射, 像我們說的一次多項式, 稱作 affine mapping.

我們可以這樣理解線性函數. 令 x 與 y 分別是兩條平行線 L₁, L₂ 的座標, P 是線外一點. 則透過 P 點從 L₁ 投影到 L₂ 的座標關係, 就是一個線性函數. 如圖十九. 比線性函數稍微複雜一點的有理線性函數, 寫成

也可以用兩條直線間的投影來表示. 但是此時的兩條直線不平行 (除非 c=0). 如圖二十.

圖十九, 線性函數	圖二十, 有理線性函數

課本 1.3 Exponential Functions

指數函數

通常我們只考慮 a > 0 的情形. 因為這個底數 a 的意義, 通常是 ``成長率'' 或 ``衰退率.'' 例如一年的經濟成長率是 3%, 意思是今 的經濟指標是去年的 1.03 倍, a = 1.03. 而假如經濟負成長 3%, 也就是說衰退了 3%, 意思是今年的經濟指標是去年的 0.97 倍, a = 0.97. 在這種意義之下, 似乎不必考慮負的 a 值.

當 a > 1 時, 是指數成長函數. 標準的例子是一個簡化的生物增長模式: 當食物與空間無限充裕且沒有競爭的時候, 一個生物族群的數量是時間的指數漸增函數. 例如課本上由 1980--1986 墨西哥的人口數估計出

意思是, 從 1980 開始, 每 的人口數是前一年的 1.026 倍. 常見的說法是, 人口成長率是 2.6%. 另一個有趣的指數成長例子是音階的頻率. 每高八度音, 其頻率是前八度的兩倍. 如圖.

圖二十一, 音階的頻率

當 0 < a < 1 時, 是指數衰退函數. 標準的例子是放射性物質的衰退. 所謂半衰期就是衰退到原來的量的一半所需要的時間. 例如碳十四的半衰期是 5730 年, 則其衰退函數是

為了計算上的方便, 我們常定義 0⁰ = 1.

注意, a^x 目前只有對有理數的 x 有意義. 例如 的意義, 就是 aⁿ 的 m 次方根, 其中 n, m 都是整數. 如果 x 是無理數的時候, 例如 有什麼意義呢? 難道說指數函數只能是 Q 上的函數而不能是 R 上的函數嗎? 那就不好了. 我們以後將會定義無理數指數的意義, 使得 a^x 的定義域可以是整個實數.

課本 1.4 Power Functions

冪函數

其中 k, p 為定數. 通常我們只考慮 p 是有理數的情形. 例如

注意當 p 是正整數, 零, 負整數時的圖形比較. 當 p 是 (正的) 偶數與奇數時的圖形比較. 還有, 冪函數與指數函數的比較: 指數函數終究會主控整個局面. 課本上可以看到這些圖形. 我們特別要提醒您注意的是當 p > 1 與 p < 1 時在 與 之間的圖形比較. 觀察曲線彎曲的程度, 趨向於無窮大或趨向於零的程度. 基本上, 如果您以 (1,1) 點為中心, 將會發現 x^p 的曲線圖形隨著 p 正非常大 ... 1 ... 0 ... -1 ... 負非常大 ... -1 ... 0 ... 1 ... 正非常大} 這個順序繞著順時針方向轉動 (以正非常大為十二點鐘方向). 如下圖.

x^p 的曲線圖形

課本 1.5 Inverse Functions

函數 f(x) 的反函數符號是 f^-1(x). 一不小心就會以為那是 f(x) 的倒數 的意思. 反函數不是倒數, 例如 的反函數是

未必每個 f(x) 都有反函數. 注意如何從 f(x) 的圖形上觀察它是否有反函數. 如果 f(x) 在整個定義域中沒有反函數, 還是有可能在某個局部的區域內有反函數. 如果 f(x) 在某點 x₀ 沒有發生相對極大或極小值, 也就是說, f(x) 在 x₀ 的微分不是 0, 則 f(x) 在 x₀ 附近可以定義反函數. 將來你或許會學到所謂的反函數定理, 將這個直觀的結論推廣到多變數函數去.

課本 1.6 Logarithms

對數函數. 這是我們的第一個觀念性的函數. 我們可以明確的定義它 (log_ax = c 意即 a^c = x), 輕易地推導它的性質 (log xy = log x + log y, log x^r = r log x,) 但是通常我們不知道如何去計算它. 譬如要從 (1) 式預測墨西哥的人口數何時會到達一億 (P=100)? 換句話說, 對數函數 y = log_ax 就是指數函數 a^x = y 的反函數.

在這門課中, 當我們寫 log, 就代表 log₁₀. 這並不是放諸四海而皆準的. 比如說在計算機相關課程中, 常常 log 代表的是 log₂. 但是, 因為

所以, 不管以誰為底, log 的值只差一個常數乘積, 定性而言, 它們的差異並不嚴重.

由於求解 a^x = y 和計算 log_ay 是等價的問題. 一般來說我們都不知道該怎麼辦. 通常必須要藉由數值方法來求得近似值. 例如課本第 40 頁下方所作的計算. 以後, 我們將發現一個更明確的計算方法. 而且, 我們也還不知道當 x 是無理數的時候, 該如何定義 a^x. 換句話說, 我們將要拓展 (extend) a^x 在 Q 上的定義, 使它可以成為 R 上的函數.

人稱數學王子的高斯 (Karl Gauss) (史上並沒有人被封為數學皇帝或是數學皇后), 是記錄上第一個肯定數值計算的重要性的人. 他曾經雇用一個人, 專門計算很多對數的值, 製造成對數函數表. 如果需要使用對數的時候, 就去查表. 你要的數就不在表上, 你就要用簡單的內插法去估計那個值. 那個花了幾 的時間受雇做對數表的人, 或許該稱為史上的第一個 COMPUTER.

這個表格當然在後來一再地被堪誤, 被擴充. 而其他觀念性的函數, 例如 等等, 也都分別地被製成數值表格. 在發明了自動計算機之前, 即使是四則運算也是非同小可的智識活動. 只有社會上相對來說受到比較高教育的人才能勝任. 例如在法國大革命之後, 因為許多的貴族都斷送了他們的頭顱, 所以許多失業的美髮師就受雇於巴黎的大學, 計算表格. 這些表格一直使用到小型電子計算器普及了為止. 事實上, 早期的自動計算機, 還以這些表格來驗證它們的運算是否正確.

課本 1.9 New Functions from Old

注意 y = f(x) + 2 和 y = f(x+2) 的不同意義. 後者稱為 f(x) 的平移 (translation). 注意 y = f(2ⁿx) 的意義, 稱為 f(x) 的伸縮 (dilation). 練習合成函數的運作. 奇函數與偶函數.

課本 1.11 Polynomials and rational functions

注意多項式的主控項 (the dominant term). 直覺上, 多項式的圖形是一條可以任意彎曲的曲線. 其實多項式不能任意折曲, 一個 k 階多項式只能通過你設定的任意 k+1 個點. 而且多項式的圖形一定沒有漸近線, 在整個 R 上沒有上下界 (unbounded). 包括複數根在內, 一個 k 階多項式必定有 k 個零根. 這是所謂的代數基本定理, 高斯的貢獻之一. 由於 k 階多項式的導函數是 k-1 階多項式, 至多有 k-1 個實數根, 所以 k 階多項式在 x-y 平面上的 (實數) 圖形至多與 x-軸有 k 個交點, 而且至多有 k-1 個相對極值; 也就是說, 它最多轉折 k-1 次. 如果你看到一個多項式的圖形有正的相對極小值, 或是負的相對極大值, 就知道它一定有共軛複數根.

有理多項式在分母的零根處有垂直漸近線. 如果分子與分母的階數相等, 也會有水平漸近線. 如果分母的階數較大, x-軸將是漸近線. 如果分子的階數較大, 發散.

習題

1. 課本 1.2 習題 7, 8.
2. 課本 1.3 習題 10--13, 16, 21.
3. 課本 1.4 習題 14, 15.
4. 令 f_n(x) 是一族定義在 [0,1] 上的函數序列: 用你的直覺, 說明 會是怎樣的函數? (它的定義域仍然是 [0,1].)
5. 課本 {\bf 1.5} 習題 16.
6. 指數函數一定有反函數嗎? 解釋你的答案.
7. 課本 {\bf 1.6} 習題 27, 28.
8. 課本 {\bf 1.9} 習題 4, 6, 15, 30.
9. 課本 {\bf 1.11} 習題 1, 8, 10, 11, 23.