第四講

課本 1.10 Trigonometric Functions

到目前為止, 我們所複習的基本函數: 多項式, 冪函數, Q 上面的指數和對數函數, 都是所謂的代數函數 (algebraic functions). 三角函數是我們面臨的第一種超越函數 (transcendental functions). 這裡所謂的 ``超越'' 只是表示這一類函數的計算不是以我們所熟知的步驟組合而成. 那些我們所熟知的步驟, 成為代數步驟, 包括了有限多個有理數之間的加減乘除和開整數方根.

另一對相關的名詞是代數數 (algebraic numbers) 和超越數 (transcendental numbers). 凡是能成為某一個整係數多項式的根者, 稱為代數數, 否則就是超越數. 有理數皆為代數數, 因為它們是線性函數 mx - n = 0 的根. 有一些無理數也是代數數, 例如 是 x² -2=0 的根. 當 Lambert 在 1761 證明 是無理數的時候, 他其實證明了 是個超越數. 基本上, 在十九世紀末葉之前, 人們只知道兩個超越數: 和 e (我們以後會遇到它). 但是 Cantor 帶給人類一個很大的驚異: 實數中絕大多數的數屬於超越數. 欲知詳情的同學, 我們建議您去選修數學系的集合論課程.

超越函數的值, 通常需要無窮多個計算步驟 能求得. 這種無窮多的計算步驟, 不是一般直覺所能處理, 我們必須延後討論這個命題. 例如正弦函數 sinx 的發現, 就是由一組函數級數得來的. 有點諷刺的是, 牛頓發現 sinx 的過程, 與今天我們學習 sinx 的過程完全相反. 當時他是先考慮今天稱為 sin^-1x 的函數. (sin^-1x 又寫做 arcsinx, 唸做 ark sine, 是 sinx 的反函數, 不是 .) 求得了 sin^-1x 的級數表示之後, 再反回來求得

這是一個函數級數. 它的確實意義, 必須留到以後再談. 在這裡, 我們可以看到, 對 (幾乎) 任何一個 x, 我們必須經過無窮多個計算步驟 能求得 sinx 的值. 這也就是為什麼它被稱為超越函數. 以後, 我們還會遇到 (至少) 一個超越函數:

今天, 我們都是從 sinx 的幾何意義去介紹這個函數. 亦即, 以 x 為一夾角的直角三角形的斜邊與 x 之對邊之比值, 為 sinx.

圖二十六

至於 sinx 的值呢, 我們通常只在幾個特殊的 x 上打轉, 例如 x = 0, 等等. 當我們需要一般的 sinx 值的時候, 我們就自然地訴諸於計算機. 現在我們看到, 其實 sinx 的級數定義 (1) 也就同時表明了它的計算方法. 雖然我們不可能計算到無窮多項, 但是總可以計算到某一個有限項為止, 而得到令人足夠滿意的答案. 這裡牽涉到所謂級數收斂的問題, 以後再說.

其實這種無窮的計算步驟在古希臘阿基米得 (Archimedes) 的時代就被想過了. 例如 的定義, 就是單位圓的面積. 我們稱它為圓周率, 因為它是直徑為一的圓周長. 據說第一個使用這個希臘字母代表圓周率的人, 還是歐拉. 其實希臘人唸這個字的音是 pi (有如``劈''), 但是到了英國人的嘴裡就成了 pai (有如``拍''). 我想, 可能是因為希臘語原來的發音, 與英語的 P 字母發音一樣, 所以為了區分兩者以便口頭敘述, 才改的唸法吧. 文化之強弱勢如此, 希臘人也無可奈何.

估計 這個數值, 成為世界上各民族之間的一種文明里程碑. 西元 250 年前, 阿基米得利用正 96 邊的內接和外接多邊形, 估計 的數值介於 223/71 和 22/7 之間. 七百年後祖沖之 (429--500) 估計

今天我們知道這個估計準確到小數點下第六位, 保持了一千年 (?) 的世界記錄. 各位同學如果到台中的自然科學博物館去參觀, 可以看到一部分的相關歷史. 而數學傳播雜誌 [?] 曾有專文介紹這個命題.

讓我們多說一段有關阿基米得的估計方法. 在這裡, 我們看到無窮個計算步驟的想法, 以及所謂數列 (sequence of numbers) 和遞迴公式 (recursion formula) 的想法. 令 p_n 是以 1 為直徑的圓的內接正 2ⁿ 邊形的邊長, 則 直覺上, 當 n 很大的時候, p_n 差不多就是 而 p_n 和 p_n+1 之間的關係是

本世紀, 估計 的方法還有長足的進步. 今天我們有更快的計算方法. 例如在 Maple 中, 下指令

    evalf(Pi, 100);

你很快就可以看到一百位的 值. 不過, 太輕易得到的答案, 反而容易使得我們忘記了它背後的意義.

像 sinx, cosx 這些三角函數, 每隔 之後就重複其數值的, 稱為周期函數 (periodic functions). sinx 的周期 (period) 是 一般而言, 如果 c>0 且對所有的 x, f(x) = f(x+c), 則稱 f(x) 是 c-周期函數. 這種函數的圖形, 在每一段 [x₀, x₀+c] 區間中看起來都一樣. 我們常常取 或 的區間來看 sinx 函數.

如果將 x 視做時間而 y 視做位移, 則 y = sinx 所描述的運動稱為簡諧運動. 例如在沒有摩擦力和任何能量損耗的情況下, 一端載著重物的彈簧將呈此種運動. 圖形如課本上的圖 1.67. 但是, 如果有能量損耗, 那就是阻泥振盪. 圖形就會是像課本上的圖 5.46 (左圖是阻泥大的, 右圖是阻泥小的).

其他的五個三角函數都只是 sinx 的變化, 或是直角三角形的三個邊的其他五種比值. 例如 cosx 只是 sinx 的一個平移,

我們稱此 為相位差. 而 以前我們學過一個六角形示意圖, 來幫助我們記憶這六個三角函數之間的基本關係.

圖二十七

這個圖結合了以下幾種基本關係:
1. 對角線之兩端互為倒數, 例如 sinx cscx = 1.
2. 每個頂點為相鄰兩端點之積, 例如 sinx = cosx tanx.
3. 三個灰色三角形上, 左上方頂點與右上方頂點之平方和等於下方頂點之平方, 例如 tan²x + 1 = sec²x.

除了上述的基本關係, 請各位同學複習幾個常用的等式. 至少包括以下四組:

所有的周期函數都不可能在整個定義域 (R) 上可逆. (也不可能是可積, 除非是零函數.) 例如 sinx, 有無限多個 x 使得 sinx = 1. 但是在 sinx 的相臨兩個波峰和波谷之間, 它是可逆的.

圖二十八

所以, 要討論 sin 的逆函數, 是先將 sin 限制在一個一對一函數的定義域之內, 再來討論的. 這時候 sin 是個一對一的函數, 它不再是個周期函數. 通常我們選擇將 sin 的定義域限制在 在此區間內, sin 是個嚴格漸增函數, 可以定義它的反函數 sin^-1x (或寫做 arcsinx). sin^-1x 的定義域是 [-1, 1], 值域是 嚴格漸增. 圖形如課本的圖 1.77. 類似的道理, cos^-1x 的定義域是 [-1, 1], 而我們選擇其值域是 嚴格漸減,

圖二十九

tan^-1 的定義域是 R, 我們選擇其值域是 嚴格漸增. 圖形如課本的圖 1.78.

習題

1. 猜測本節 (1) 式中右端的第 n 項是什麼?
2. 複習 符號的使用法. 猜出以下級數的一般項並以 的形式寫出其表達式:
3. 利用習題 4.1 的猜測, 將 (1) 式寫成 表達式.
4. 如果你需要計算 sin(1) 的值, 準確到小數點下第四位, 則在 (1) 式的右端, 你應該算到第幾項就夠了? 用一個普通的計算器來驗證你的答案.
5. 課本 1.10 習題 32--35, 48, 50.