第五講

函數的連續性

在大部分的情況下, 所謂一個函數在某區間中是連續函數, 有其非常直覺的意義. 那就是, 函數的圖形在此區間內沒有中斷. 比如說, x², sin x, 都是在 [-1,1] 中連續的函數. 哪個函數不連續呢? 比如說 Heaviside 函數:




此函數又稱為單位階梯函數 (unit step function). 很明顯地, 這個函數在 x=0 的地方有一個跳動 (jump), 所以不是 [-1,1] 上的連續函數, 也不是 R 上的連續函數. 但是它卻是 和 上的連續函數. 所以,

當我們說函數連續或不連續的時候, 必須註明所討論的區間.

另一個有名的不連續函數是符號函數



其中 sgn 讀作 sign. 因為, 當 的時候, |x|/x 就是 x 的符號: +1 或 -1. 圖三十和三十一分別是 H(x) 和 sgnx 的圖形.

圖三十, Heaviside 函數	圖三十一, 符號函數

當我們用這種分片的方式來定義函數的時候, 很容易察覺它是否為連續. 還有一種不連續性, 是函數無法定義的不連續. 例如




都是因為在 x=0 處無法定義, 所以在 R 上不連續.

圖形固然可以幫助我們思考和判斷, 但是缺乏明確的邏輯定義. 我們須要一個邏輯上, 或數學上, 嚴格的定義, 使得我們在不方便畫圖或即使畫圖也難以辨識的情況下, 以純邏輯的思維來判定一個函數是否連續. 例如,




或



或



這三個函數, 是否在 0 那一點上連續呢?

連續性的簡單含義就是

當自變量 x 稍微變動的時候, f(x) 也只有少許的變動.

例如當 x 在 [-0.001, 0.001] 之間變動的時候, x² 的變動範圍只有 0.00002; 而當 x 同樣在 [-0.001, 0.001] 之間變動的時候, H(x) 的變動範圍就是 1. 這樣的差別當然是很明顯的. 但是, 這種用數字作例子的方式總是不嚴格的. 例如當我們考慮 x 在 [999.999, 1000.001] 之間變動的時候, 即使是連續函數 x² 的變動範圍也高達 4.

在數學思想上, 我們的一個大進步就是, 把訴說連續的觀點, 從自變量 x 軸的立場, 改變到隨變量 y 軸的立場來看. 改變了論述的立場之後, 事情就變得清楚了.

讓我們觀察一個不連續函數, 在其不連續處, 有什麼特殊的地方. 例如 H(x) 在 x=0 處不連續. 此處的函數值是 1/2. 它和, 比如說 x², 在 x=0 處有什麼不同呢? 你會發現, 你可以找到一個以 為圓心的足夠小的圓, 使得所有其他 H(x) 的圖形都落在這個圓的外面. 所以我們觀察到 H(x) 在 x=0 處不連續. 相對地, 你將沒有辦法找到一個以 (0,0) 為圓心的圓, 使得所有其他 x² 的圖形都落在這個圓的外面. 所以我們觀察到 x² 在 x=0 處連續.

讓我們來看看, 數學家是怎麼把上面的敘述說清楚的 (如詩一般的優美, 不是嗎?):

如果對所有的 都找得到 使得凡是 必有 則 在 處連續.

這叫做函數 f(x) 在 x₀ 點連續的定義. 如果 f(x) 在 [a,b] 區間中的每一點都連續, 則稱 f(x) 在 [a,b] 上連續.

如果你想要證明一個函數在某點 x₀ 處不連續, 你就必須指出它不合乎上面定義的地方. 明確地說, 就是要符合前面定義的逆敘述:

找得到一個特定的 使得對所有的 都有至少一個 x, 雖然 但是

這就是所謂的 論證.

讓我們練習用 論證來證明 x, x² 在 上連續, 在 上連續, 在 上連續, 而 H(x), sgnx 在 x=0 處不連續.

習題

1. 利用 H(x) 和 sgnx 表達以下這個不連續函數:
   
   
   
   上式中, 忽略 f 在 x=-2, 0, 7 的值 (答案有許多種, 寫出一種就好了.)
2. 課本 668 頁習題 1--4. 你可以先用 Maple 觀察其圖形, 然後試圖用嚴格的 論證來證明你的觀察.
3. 直覺上我們都會同意, 如果 f(x) 和 g(x) 各自在 [a,b] 區間中是連續的, 則 f+g, f-g, f*g 也都是連續的. 試用 論證來證明, f+g 也是個連續函數.