第七講

課本 2.3 導函數

f(x) 在某點 x=x₀ 有導數 (has a derivative) 的定義. 一個單變數函數 f(x) 若在某點 x=x₀ 有導數, 我們稱它在 x₀ 處可微 (differentiable). 若 f(x) 在整個區間 (a,b) 中可微, 則可以定義 f(x) 在 (a,b) 之間的導函數 (derivative function). 記作 f'(x) (牛頓符號) 或是 (萊布尼茲符號).

注意課本上的 Figure 2.21 和 Example 5, 函數與其導函數圖形之間的關係. 尤以多項式最為明顯, 見下圖.

圖三十二

課本 2.4 導數的其他解釋

物理, 尤其是運動方面的解釋, 我們知道得比較多. 例如速度的導數是瞬間速度的變化, 也就是加速度 (acceleration). 其實還有其他方面的解釋, 例如在經濟學中邊際效應的解釋. 讀課本的 Example 3 和 Example 5.

課本 2.5 二次導數

二次導數, 加速度, 變化率的變化率, 向上凹 (concave up, 其實就是凸 (convex)), 向下凹 (concave down), 曲率, 反曲點.

習題

1. 課本 2.3 習題 7, 18, 32 (注意這是個周期性函數, 用 Maple 畫出它一個周期內的圖形), 33 (要的是一個證明, 不要用舉例的方式說明).
2. 課本 2.4 習題 8, 11, 16--17.
3. 課本 2.5 習題 10--11.
4. 試用 形式寫出 的定義.