第八講

在前言中, 我們說過, 牛頓與萊布尼茲在西元 1680 年前後, 發展了今天所謂的微積分基本定理, 使得微分 (求瞬間變化率) 與積分 (求曲線下面積) 這兩回事變成了一套互為正逆的運算. 從此之後的五十年, 應用微積分這套技術的數學家或科學家們, 都在技術上把積分當做是求反導函數的運算. 也就是說, 當他們需要求的時候, 就找一個函數 F(x), 而它滿足 F'(x) = f(x), 再以 F(b) - F(a) 來當做其積分值. 只有在找不到這樣的一個 F(x) 的時候, 才利用積分的面積意義, 求得一個近似的積分值. (我們還沒有正式講過求導函數及求反導函數的技巧. 目前, 請就以高中時代所學習的基本技巧為思考上的範例. 比如說, x² 的導函數是 2x, 而 x 的反導函數就是 (1/2) x².)

在 1820 年以前的數學理論中, 並沒有什麼函數是可積分 (integrable), 什麼是不可積分, 這一類的觀念. 因為, 在理論上, 甚至沒有積分的定義. 只是直覺地認定它就是曲線下的面積, 而求反導函數就是其計算的技巧: 能找到反導函數的就是可積的函數, 不能找到的, 就不知道了. 一方面, 這樣的直覺顯然基礎鬆散; 另一方面, 求反導函數的技術也不夠解釋許多一般性的情況. 比如說

(

是個希臘字母, 唸做``開.'' 這個函數稱做特徵函數, 仔細的說, 又稱做 [0,1] 區間上的特徵函數.) 直覺上

顯然是可積的 (只要 A > 1), 其積分值應該是 1. 但是我們無法在基本函數中找到

的反導函數.

因此, 當微積分的技術在自然科學的領域中大放異彩的同時, 數學家也在為它找尋一套嚴格的定義. 我們已經看到了微分的定義, 那是一個用極限的觀念寫出來的定義. 而極限的定義是用論證的形式處理的. 那麼積分呢?

可微 (有導數) 的定義只有一種, 但是可積的定義卻有好幾種. 每一種定義的方式都會和牛頓與萊布尼茲的微積分基本定理``相容.'' 也就是說, 不論依照哪一種定義, 凡是找得到反導函數的函數, 在那個定義下都會是可積的, 而且其積分值都是 F(b) - F(a). 所以, 這些不同定義的些微差距都發生在那些找不到反導函數的函數上. 這些定義, 使得可積的函數種類越來越豐富, 也使得微積分的理論越來越豐富.

但是, 那些在某種定義下可積, 卻又找不到反導函數的函數, 要如何求得其積分值呢? 只有在極少數的情況下, 我們可以運用其他的數學技巧求得其積分值. 絕大部分的情況下, 我們只能用數值計算的方法 (numerical quadrature), 求其積分的估計值.

讓我們首先來看看柯西在 1823 年為閉區間內連續函數的積分所下的定義--- 也就是說, 連續函數在閉區間內的曲線下面積的定義. (但我們用的是一般教科書上常見的寫法.)

令 f(x) 為閉區間 [a,b] 上的連續函數. 令 n 為一正整數, 取

而且

令

是 [x_k-1, x_k] 中的任意一點, 而且

則若

存在, 其極限值就是 f(x) 在 [a,b] 上的積分值, 並記作

在此定義中說的 {x₀, x₁, ..., x_n} 稱作 [a,b] 區間中的一個均勻分割. 而且, 觀察積分符號符號其實就是拉長的 S, 有長度的在取了極限後寫成 dx. 符號的意義是 從 a 到 b 對 x 變數做積分.

而所謂柯西積分定理, 就是說

閉區間上的連續函數必可積.
也就是說, 如果 f(x) 是閉區間 [a,b] 上的連續函數, 則前述定義中的

極限必存在.

現在, 我們必須為

下定義.
令 {x_n} 為一實數數列. 如果有某數 x,
對所有的

都找得到 N > 0,
使得凡是 n > N, 必有

則

的極限存在, 且其極限值為 x.
這個定義的方式和

論證很類似, 卻不盡相同. 我們稱它為

論證. 暫時, 我們不討論其細節. 但是各位可能已經知道

我們將會證明, 柯西的積分定義和古典的微積分基本定理是相容的. 也就是說, 如果 f(x) 在 [a,b] 區間中有反導數 F(x), 則 f(x) 在柯西的定義之下的積分值是

柯西提出了他的積分定義之後三年, 黎曼 (Riemann) 才出生. 黎曼在二十八歲 (西元 1854 年) 的時候就任德國哥丁根大學的教授. 在其就職演說中, 他提出了柯西的積分定義的推廣. 使得這個定義可以含蓋不連續函數的可積 (或不可積). 今天的教科書大都直接以黎曼的定義作為可積的定義. 而類似 (1) 式中的和, 則稱為黎曼和 (Riemann sum).

黎曼的積分定義與柯西的積分定義之間只有微妙的不同.

(詳情於此)
重要的是, 黎曼可以從他的定義裡面推導, 什麼樣的不連續函數會是可積的. 如果一個函數在黎曼的定義之下可積, 我們稱它為黎曼可積. 黎曼的可積定義相容於柯西的積分定義. 也就是說, 如果 f(x) 在 [a,b] 中是個連續函數, 則它是黎曼可積, 而且其積分值與柯西的積分值相同. 基本上, 黎曼所推廣的是, 如果 f(x) 在 [a,b] 區間中是有界函數 (也就是說, |f(x)| 在 [a,b] 中沒有趨向無窮大之處. 亦即存在 M > 0, 對所有的

皆有 |f(x)| < M. 但是這並不表示 f(x) 在不連續點處都是可補救的. 例如

就是一個有界函數, 但是它在 x=0 處有一個不可補救的不連續點.} 且只有有限多個不連續點, 則 f(x) 在 [a,b] 區間中是黎曼可積. 這個結果符合我們直覺上對面積的認識.

如果 f(x) 只有在 d₁ < d₂ < ... < d_m 點上不連續 (a < d₁ 且 d_m < b), 而且 f(x) 分別在 [a,d₁], [d₁, d₂], ..., [d_m,b] 這些閉區間上分別可以被補救為連續函數 (補救其邊界值, 使得在整個閉區間上是連續的). 那麼, 補救後的 f(x) 分別在 [a,d₁], [d₁, d₂], ..., [d_m,b] 有柯西積分值. 而 f(x) 在整個 [a,b] 區間上是黎曼可積, 且其積分值為各區間中柯西積分值的和:

這個推廣, 使得像

這樣的積分有了理論上的基礎, 而且其結果又符合我們直覺上面積的意義.

此外, 黎曼的積分理論使得我們可以討論無界函數的可積性, 例如以及在或這些無界區間上的可積性, 例如在大部分的情況下, 在黎曼可積的定義之下的可積函數就足敷使用了. 或許是為了這個原因, 在一般的應用科學領域中, 我們只學習黎曼的積分理論.

但是在更深一層的領域中, 黎曼的可積定義有其不夠完備的地方. 問題在於, 如果 f_n(x) 是一系列的函數, f(x) 是它們的極限函數; 記作 (我們以後再解釋其意義). 比方說

那麼即使每一個 f_n(x) 都是黎曼可積的, 只有在很特別的情況下, 才能保證其極限函數 (如果存在的話) 也是黎曼可積的.

以今天的眼光來看, 最完備的可積定義是由勒貝格 (Lebesgue) 在本世紀初提出的. 數學系的實變函數論的課程中, 主要就是討論由勒貝格的積分理論所導出的數學. 我們不在這裡討論勒貝格的可積定義.

課本 3.1 左右黎曼和

當 (1) 式中的總是取 x_k-1 的時候, S_n 稱作左黎曼和; 當它總是取 x_k 的時候, S_n 稱作右黎曼和. 如果存在, 則當 n 越來越大的時候, 左右黎曼和的值會趨近於同一個數, 也就是積分值. 這是以計算機估計積分值的最基本辦法.

課本 3.2 定積分

當 a, b 是定數 (常數) 時, 稱做定積分 (definite integral).

習題

證明柯西的積分定義和古老的面積定義是相容的. 也就是說, 若矩形的長寬是 A 和 B, 則其面積是 AB. 放到積分的符號上, 令 f(x) = B (常數函數), 請用柯西的定義證明
試證明, 對每個 (固定的) 正整數 n, (2) 式中的 f_n(x) 是黎曼可積. 你如果可以想像是什麼樣子, 請說明你的想像.
課本 3.2 習題 1, 2, 5. (用某種電腦語言 (BASIC, FORTRAN, C, ...) 寫一個簡單的程式協助你作答.)
如果 f(x) 在閉區間 [a,b] 中是連續的, 請證明它在 [a,b] 中也必是有界的. 反之如何? 也就是說, 如果 f(x) 在 [a,b] 區間中是有界的, 那麼它一定會是連續的嗎? 解釋你的答案.