第九講

課本 3.3 面積與平均值

負的面積. 廣義的平均值. 積分的單位.

數學定義的重要性

回顧一個數列 {x_n} 收斂的定義:


令 {x_n} 為一實數數列. 如果有某數 x,
對所有的 都找得到 N > 0,
使得凡是 n > N, 必有
則 {x_n} 的極限存在, 且其極限值為 x. 記作
我們說過, 通常很難直接運用這個定義來驗證一個數列是否收斂. 因為這個定義裡面的一個關鍵, 就是如果有某數 x這句話. 通常我們很難預知這個 x 會是誰 (電腦並不能告訴我們確實的 x, 何況在理論的證明收斂之前, 我們根本不應該使用電腦去估計其極限值). 既然不知道 x 是誰, 那又怎麼能運用這個定義呢?

數學定義的目的, 是要把直覺上似乎很清楚, 細想之下又似乎不清楚的觀念給說清楚. 而且是以合於邏輯思維的符號或語言說清楚的. 比如說, 極限的觀念, 直覺上就是距離要多小就可以多小. 連續的觀念, 直覺上就是函數圖形沒有斷掉. 曲線下的面積, 就是曲線下分割得越來越細的矩形面積和. 這些在自然語言上無法定量描述清楚的觀念, 都在數學領域中被簡明而嚴格的定義了.

另一方面, 數學家總是企圖找到最基礎, 通常也就是最簡短的語句, 以定量而方便運算的方式, 來作為一個觀念的定義. 這是一個漸近倒推的思考模式. 我們今天看到的, 歷經蒼桑考驗的數學定義, 都幾乎是最簡最完備的了. 數學家喜歡從越簡單越好的定義敘述中, 推導出越豐富越好的數學定理. 而一套數學定理的容易理解與否, 容易預見與否, 容易證明與否, 都和定義的敘述直接相關.

所以, 通常而言, 數學定義是不便直接拿來應用的. 它是一套最抽象, 最簡明的語言. 而從這一套語言出發, 我們可以比較清晰地推導出很多定理. 而這些定理, 才會是比較容易被拿來應用的.

比如說, 我們曾說, 因為

而右邊的級數發散, 所以 也就不可積. 在直覺上, 這是頗清楚的. 一般而言,
若 {x_n}, {y_n} 為兩數列,
且 發散, 則 亦發散.
回顧發散的定義. 我們可以證明上面的敘述. 有了這個理論, 我們就比較容易判斷數列的發散了.

判斷收斂就比較複雜了.

只是說 而且 收斂是不夠的. 例如

固然 x_n 沒有發散, 但是它也不收斂. (有些人會說不收斂就是發散, 我們稍微分辨得清楚一點.)

但是我們曾經直覺地說, 因為

所以 收斂. 這是為什麼呢? 觀察 這個數列是漸增的, 而且它們統統都小於 2.

實數的完備性

漸增但有上界之數列必收斂這句話, 雖然在直覺上我們會同意, 可不是理所當然就是對的. 比如說在有理數數系中, 這句話就不對. 回想用牛頓法計算 x²-2=0 的零根. 如果我們從 q₀ = 1 出發, 則

這些 {-q_n} 是在有理數系中的漸增數列. 但是它們不收斂. 因為我們私下知道, 那個將要收斂到的值會是 而它不是有理數, 它不在有理數系裡面. 所以對有理數系而言, {-q_n} 這個數列的極限不存在, 也就是不收斂.

等價於漸減但有下界之數列必收斂.

一直到 1850 年前後, 數學家才開始問道: ``究竟無理數是什麼?'' 為什麼我們能說 (Dedekind, 1858). 我們在初中的時候可能是這樣學的:

所以 但是, 別太大意了, 結合律與交換律. 從整數開始, 可以感知的運算率. 可以嚴格地推廣到有理數的運算. 但是無理數呢? 我們理所當然地這樣運算, 但是這究竟有什麼道理? 數學家就開始了一趟歷時大約五十年的找尋實數定義的旅程. 今天稱為實數建構論. 欲知詳情者, 請到數學系學習高等微積分或是集合論這兩們課.

我們已經知道, 稠密和連續不斷或是沒有遺漏是兩碼子事. 比如說有理數系是稠密的, 但是它遺漏了 這個遺漏, 很不幸地, 使得像漸增但有上界之數列必收斂這樣, 直覺上可感知其正確性與合理性的敘述無法成立. 這也使得整個奠定在極限觀念上的微積分有所暇疵. 因此, 且不管實數建構論, 讓我們就以定義的方式來彌補有理數的這個缺失; 也就是說, 我們直接就定義實數就是符合以下的完備性:


任何層層相套的閉區間 必有非空之交集.

所以, 在某種建構論中, 其實就是被像 {q_n} 這樣的有理數數列所定義的. 我們不詳細說了. 從這套 (其實是三套不同但等價的說法) 實數的建構論中, 我們就可以證明無理數乘法的結合律和交換律了. 所以, 也就為這幾百年來大家一直在做的事情, 補發了一張使用執照. (有些人認為實數的建構論是數學上非凡的成就之一, 另外一些人則認為這沒什麼大不了的, 因為實數已經有了很清楚的直覺意義了. 我個人認為, 把實數的特性總結歸納到一個簡單明瞭的完備性, 是一個非凡的成就.)

有了完備性這個定義 (和數列收斂的定義), 我們就可以證明


實數中漸增但有上界之數列必收斂
這個定理.

若

是一個實數中漸增但有上界之數列. 令 a₁=x₁, b₁=M, 取 m₁ 為 [a₁,b₁] 之中點: 若 m₁ 仍是 {x_n} 數列之上界, 則定義 [a₂,b₂] = [a₁,m₁]; 否則定義 [a₂,b₂] = [m₁,b₁]. 也就是說, 我們保持 b₂ 仍是 {x_n} 數列之上界, 但 a₂ 又必落在數列之中. 換句話說, 存在某數 N₂, 依此類推, 若已經定義了區間 [a_k, b_k], 則取 m_k = (a_k+b_k)/2, 而定義 於是, 必存在某數 N_k+1, 使得 這樣一來, 我們就有了一組層層相套的閉區間 根據實數的完備性, 這些閉區間有個非空集合的共同交集 但是因為 所以 亦即 [a_k,b_k] 的長度趨近於零. 其實 之中只有一個點, 名之曰 現在我們證明 就是數列 x_n 的極限.

任給一個 必有某數 K, 而且存在某數 N_K, 使得

現在, 取 N=N_K, 則每當 故得證.

實數的完備性, 也締造了實數的另一個特殊的性質. 這是一個在直覺上很簡單的性質, 稱為最小上界定理.


實數中的非空子集合, 若有上界則有最小上界.

什麼是實數的子集合呢? 空集合 和實數本身 R 都是的. 現在我們只討論非空子集合, 也就是把 排除在外. 並不是空集合特別困難而我們故意要排擠它, 而是因為它其實並不重要, 而它的存在卻會使得某些敘述變得麻煩. (試想, 當我們說, 的時候, 是不是要費些口舌, 解釋如果 是空集合的話, 又該如何如何呢?) 我們見過的實數子集合的例子有閉區間 [0,1], 開區間 (0,1), 半閉區間 數列 {x_n}, 還有某函數 f(x) 的定義域, 值域這一類的集合. 例如 的定義域是 sinx 的值域是 [-1,1].

如果 是 R 的非空子集合, 記做 若有某數 M 大於或等於 中的每個數, 記做

則稱 有上界, 而 M 是 的一個上界. 例如 R 沒有上界, 沒有上界; 有上界, 比如說 1 就是一個上界, 2 是一個上界, 3 也是一個上界.

什麼是最小上界呢? 就是說比這個數再小一點點, 就不是上界了. 什麼叫做小一點點呢? 現在我們應該已經知道了, 凡是一點點的數量, 我們都可以用 的形式語言來說:


若有某數 是 之上界,
但是對任意 都存在 使得 則稱 為 之最小上界.
例如 [0,1] 很明顯地有最小上界, 就是 1; 而且它在區間內. (0,1) 也有個最小上界, 也是 1; 但是它不在區間內.

但是如果限制在有理數系統中討論, 則所有介於 0 和 之間的有理數成一個子集合, 它 (在有理數中) 有上界, 比如說 2, 但是它 (在有理數中) 就沒有最小上界. 因為, 只要 是一個上界, 則 所以 不是有理數. 但是我們取 為 之十進位表示式之第一位非零位. 例如若 取 則 而且 您可以看到, 所以 q 不是個最小上界. 同理可證 也不會是個最小上界. 依此類推, 上述集合在有理數中根本沒有最小上界.

習題

1. 課本 3.3 習題 2, 3, 4, 12.
2. 用 論證 (的逆敘述) 證明 不存在. 也就是說, 數列 {(-1)ⁿ} 不收斂.
3. 若 ``漸增但有上界之數列必收斂'' 這個敘述正確, 請證明 ``漸減但有下界之數列必收斂'' 這個敘述也就必然正確; 反之亦然.
4. 模倣最小上界定理, 敘述並證明一個最大下界定理.
5. 證明最小上界定理. [我建議您詳讀 ``漸增但有上界之數列必收斂'' 的證明, 並且依樣畫葫蘆. 您可以在 任取一數 (一定有的, 因為 非空集合), 稱做 a₁. 然後任取 的一個上界, 稱做 b₁. 然後取其平均值 c, 如果 c 仍是 的上界, 取 [a₁,c] 為 [a₂, b₂]; 否則取 [c,b₁] 為 [a₂, b₂]. 接下來, 您就應該知道怎麼做了.]