期末考

1. (5) 以下命題的極限值是多少?

1. 2
3. 1/2
4. 0

2. (5) 以下命題的極限值是多少?

3. 1

3. (5) 下列敘述中, 哪一個是錯的?

1. 若 f(x) 在區間 (a,b) 內可微, 則 f(x) 在 (a,b) 內有反函數.
2. 若 f(x) 在 x₀ 處連續, 且 則
3. 漸增有上界之實數數列必收斂.
4. 若 f(x) 在閉區間 [a,b] 上連續, 且 f(a) f(b)<0, 則必有一 使得 f(c)=0.

4. (5) 下列敘述中, 哪一個和其他三個在邏輯上比較沒有關係?

1. 微積分基本定理.
2. (連續函數的) 中間值定理.
3. 積分平均值定理.
4. 微分平均值定理.

5. (5) 下列敘述中, 哪一個和其他三個的數學模型比較不同?

1. 求 y=f(x) 之曲線繞 x 軸旋轉所圍成的體積.
2. 求火箭脫離地球所需要的功.
3. 在固定邊長之條件下, 求矩形的最大可能面積.
4. 求一個機率分佈函數的平均值.

6. (5) 下列敘述中, 哪一個是錯的?

1. 每一個實數都是某一個漸增有理數數列的極限.
2. 不管 |x| 有多大, 必定收斂.
3. 不管 |x| 有多大, 必定收斂.
4. 可能是某個函數在某個點附近的泰勒級數.

7. (5) 下列敘述中, 哪一個是錯的?

1. 是某個函數在 內的傅立葉級數.
2. x³ + x -1 在 x=0 附近的泰勒級數是 x³ + x -1.
3. e^x cosx 在 x=0 附近的泰勒級數是
4. 令 p₃(x) 是 lnx 在 x=1 附近的三階泰勒多項式. 若 0<x<2, 則存在某個介於 0 和 x 之間的 使得

8. (5) 下列函數中, 哪一個在 上的廣義積分不可積?

9. (5) 下列函數中, 哪一個收斂到 0 的速度最快?

10. (5) 求

1. 0

11. (10) 敘述 (第一型式的) 微積分基本定理. 證明上述定理.

12. (10) 假設你開了一家板凳工廠, 而且訂立了以下的促銷策略: 若一次購買 1--300 只板凳, 則每只單價 900 元整. 但若一次購買 300 只以上的板凳, 則超過 300 只的部分, 每多一只, 多出的那只的單價比前一只減 5 元. 例如買 302 只, 則前 300 只每只 900 元, 多出的兩只, 一只 895 元, 另一只 890 元. 假如每只板凳的成本是 500 元. 請考慮,

1. 哪種數量的定單使你一次賺最多錢?
2. 你有賠本的可能嗎? 如果有, 在什麼情況下會賠本?
3. 如果你希望在每張定單上至少賺 1000 元, 那麼該在這份促銷策略上附加什麼但書呢?

13. (10) 假設你開了一家加油站. 有一個地下油槽. 這個油槽是個圓柱體, 直徑 3 m, 長 4 m, 水平橫躺置於地面至下, 其圓柱之上側距加油管口的高度差是 3 m. 請問, 要將滿滿的一槽油全部抽上來, 總共需要作多少功? (汽油的密度是 673 Kg/m³.)
[建立數學模型並說明如何求解: 7 分. 計算出結果: 3 分.]

[加分題. 最多加 10 分. 假如抽油馬達每施功一焦耳的成本是 0.08 元. 如果你想保持每抽一公升 (0.001 m³) 汽油的抽油成本在 2 元以下, 你該怎麼做? (以上假設的成本都沒有事實根據, 純屬假設.)]

14. (10)

1. 請寫出, 在十進位計數系統中, (0.9 循環) 的定義.
2. 證明

15. (10) 當 時, 定義

1. 必須定義 f(0) 是什麼數才使得 f(x) 在 x=0 處連續?
2. 現在, 令 f(x) 如你所下的定義. 證明 f(x) 在每一點 x 皆可微.
3. 令 f'(x) 是 f(x) 的一次導函數. 證明 f'(x) 在 x=0 處不連續.