期中考

1. (5) 以下命題的極限值是多少?

1. 2
3. 1/2
4. 0

2. (5) 令 f(x)=x³+1, g(x)=2^x2+1, h(x)= k(x) = log₂x. 以下敘述何者為真 (單選)?

1. h(g(x))=2^x+3.
2. h(x) 的定義域和 k(x) 的定義域一樣.
3. k(g(x)) = g(k(x)).
4. k(f(x)) 的定義域是 {x : x > -1}.

3. (5) 下列敘述中, 哪一個和其他三個在邏輯上比較沒有關係?

1. 實數的完備性.
2. 函數 1/x 在 x=0 處不連續.
3. 漸增有上界之實數數列必收斂.
4. 若 f(x) 在 [a,b] 內為連續函數, 且 f(a) f(b)<0, 則必有一 c 在 [a,b] 內, 使得 f(c)=0.

4. (5) 下列敘述中, 哪一個和其他三個在邏輯上比較沒有關係?

1. 數列 {x_n} 收斂到 x₀ 的 定義.
2. 函數 f(x) 在 [a,b] 區間內的曲線下面積.
3. 函數 f(x) 在 [a,b] 中的反函數.
4. 函數 f(x) 在 x₀ 處的切線斜率.

5. (5) 令 f(x) 在閉區間 [a,b] 上連續. 下列敘述中, 哪一個不是 f(x) 必然具備的性質?

1. f(x) 在 [a,b] 內有界.
2. f(x) 在 [a,b] 內可微.
3. f(x) 在 [a,b] 內可積.
4. 若 且 則

6. (5) 敘述柯西-西瓦茲不等式 (Cauchy-Schwatz inequality). 利用它來證明

7. (10) 敘述實數完備性的定義. 陳述五條與實數完備性有關的定理.

8. (5) 下圖是某 f(x) 的圖形. 在標示的 A, B, ..., E 之中, 哪個點的

1. f(x) 最大?
2. f(x) 最小?
3. f'(x) 最大?
4. f'(x) 最小?

9. (5) 下圖是某 f'(x) 的圖形 (注意, 不是 f(x)). 在標示的 A, B, ..., F 之中, 哪個點的

1. f(x) 最大?
2. f(x) 最小?
3. f'(x) 最大?
4. f'(x) 最小?

10. (10) 令 0 < a < 1 為一常數. 考慮數列

11. (10) 敘述函數 f(x) 在 [a,b] 區間中均勻連續的 定義. 我們知道 x² 在 [a,b] 中是連續的, 所以 x² 在 [a,b] 中是均勻連續. 請針對這個例子, 找出定義中的 與 的關係.

12. (10) 敘述極限的夾擊定理. 若 證明

13. (10) 敘述中間值定理. 敘述連續函數的積分平均值定理. 證明連續函數的積分平均值定理.

14. (10) 敘述 (第一型式的) 微積分基本定理. 用中文解釋上述定理的涵義. 如果 f(x) 是連續函數, 利用積分平均值定理, 證明上述定理.