機械系
支援其一學期的新型微積分課程.
這個課程是他們的整套教學改善計畫的一部分.
根據我的瞭解, 其精神就是希望減少課程中重複的部分,
以期將學生的時間轉移到比較多樣化的專業科目上.
這一學期的課程內容, 簡單地說就是個``單變數''微積分的核心課程內容.
引發我開始編寫這套教材的原因, 是在 1996 年的秋季, 前往本校 (中央大學)
機械系
支援其一學期的新型微積分課程.
這個課程是他們的整套教學改善計畫的一部分.
根據我的瞭解, 其精神就是希望減少課程中重複的部分,
以期將學生的時間轉移到比較多樣化的專業科目上.
這一學期的課程內容, 簡單地說就是個``單變數''微積分的核心課程內容.
一九九六年十月四日, 第一堂課的講義上, 我企圖對學生們預告這門課的特殊性質. 所以, 在實際教學之前, 我寫了一段序言. 當時, 可以說是假設的理想. 經過了一個學期的實驗之後, 某些想法被保留到現在, 而某些想法是必須經過修正的.
長久以來, 微積分是大學理工商學院學生的共同必修科目. 而微積分一直是由數學系的教師到各系去授課. 可以說, 微積分是數學系對全校提供的服務性課程. 但是, 最近我們受到一些責備, 接受服務的一方要求我們改變服務的方式或內容.
這是一個不一樣的時代了. 整個社會的每一個環節都在改變的時候, 教育環境當然也不能被豁免. 但是我們回頭想想, 教育事業一向就是服務業. 我們和其他的服務業不同的是, 我們有權力釐定自己所提供的服務內容與品質 (例如教材與教法的選擇), 評定受服務者是否有資格被服務 (例如大學聯考), 以及評定受服務者是否成功地接受了我們所提供的服務內容 (例如學期成績). 在我們的傳統社會裡面, 受服務的大眾尚未擁有反方向的評定權力. 在今天這個社會環境下, 這個現象看起來是很不平等, 很不民主的. 於是我們可以理解, 何以受服務的大眾正汲汲於爭取他們的權力.
我們當然不能否認平等與民主的功能. 今天我們所享受的生活, 多半由它所賜. 但是不要忘了, 民主的成功, 奠基於一個假設: 參與決策的人民擁有充分而平等的資訊來源與知識水平, 提供他們作為判斷的依據. (世界上很多國家還無法符合這個假設, 我認為這基本上也就是為什麼很多國家的民主政治並不成功的原因.) 在教育這個課題上, 上述的假設是很難達成的. 提供服務的一方, 通常比接受服務的一方擁有更多的資訊和更高的知識水平. 所以, 在教育這個課題上, 要審慎考慮平等與民主的實現方式及範疇.
我認為每個人都有追求卓越的本能和渴望. 我們不必因為聯考錄取率的大幅提高而假設學生本質的改變. 做為一個數學老師, 我們應當堅持專業的立場, 並堅持學生達到我們所要求的理解程度.
但是, 改變是在所難免的. 在態度上, 我們已經可以感覺到, 一名教師不再能僅以他的職業就自動獲得別人的尊重. 在社會上, 我們一方面被要求融入人群, 一方面又被期望保持客觀和清醒. 人生總是充滿了矛盾; 但是我認為, 在一個所謂自由平等的環境中, 矛盾的存在更加明顯. 且假設我們有足夠的智慧在矛盾中尋求平衡的人生.
那麼, 以一名數學教師而言, 我們融入人群的那一部分, 就應該表現在教材與教法的現代性: 我們應當選擇現代化的題材, 佐以現代化的工具. 而我們客觀清醒的那一部分, 就應該表現在教材與教法的固有性: 面對外界各種不知其然的要求改變的聲浪, 我們自當有為有守. 因為只有我們自己才擁有足夠的學識, 用以判斷哪些是可能因時間而改變的技能, 哪些是不隨時間而改變的恆久智慧. 我們固然要教導學生現代的技能, 但不能以犧牲智慧作為代價.
數學老師所受到最多的不明究理的責難, 就是我們所教的東西「沒有用」. 所謂「沒有用」是應該界定範圍的: 究竟是在科學文明中沒有用, 在日常生活上沒有用, 在文化素養中沒有用, 還是在專業領域上沒有用? 我想, 即使沒有受過高等教育的人, 也不會認為數學在人類的科學文明上是沒有用的. 有人說數學是科學的皇后, 有人說數學是科學的僕役. 說得不卑不亢吧, 數學至少是科學的語言. 語言是我們用以思維, 傳遞, 與記錄的媒介. 沒有了語言, 人類還能進行什麼智慧活動呢? 所以, 在這一方面, 我認為不需多費力氣為數學教育做任何辯解.
如果要說數學在日常生活中沒有用, 那麼什麼是有用的呢? 我可以大膽地宣稱, 所有我們在小學畢業以後從課堂中學習的知識, 都是在日常生活中沒有用的. (其實, 還有人做更大膽的宣稱.) 大部分人盲目地相信物理和生物學是比較「有用」的學科. 讓我們想想, 在一般人的日常生活中, 誰須要使用類似 F=ma 和 S=vt 這樣的物理定律來過日子? 誰在菜市場裡面須要將蔬果魚肉做界門綱目科屬種的分類, 誰又須要知道青蛙肝臟的位置? 因此, 我相信, 「日常生活中的沒有用」是高等教育內容的普遍現象. 那些只須要日常生活的知識的人, 只需要九年國民教育.
因此, 從事高等教育的數學老師們, 不必太注意一般大眾對於數學「沒有用」的無端指責. 我們需要注意的是, 同屬於高等教育的其他學系的同仁們的看法. 我們應該注意在那些所謂的應用科學, 或是工程方面, 對數學的需求是否有了新的看法? 我們應該與接受服務的其他學系的老師們誠懇地商談彼此的看法, 一方面請對方瞭解我們對於自己的專業科目所做的堅持, 另一方面使自己瞭解對方的特定學習目標, 用以設計適當的應用示範教材. 我甚至認為, 數學系的教師應該與其他專業的教師, 共同開發適合某個學系的微積分課程, 以達到雙方都滿意的地步. 否則, 微積分的應用何其的廣泛, 一名數學專業的老師很可能並不擅長教導學生各種的應用課題. 而且, 未經挑選的應用課題容易使得微積分的內容變成一盤鬆散的雜燴. 這是數學老師以及其他學系的老師都不樂意見到的.
同時我們必須在意, 在所謂現代的環境內, 電腦以及電子網路已經對幾乎每一個人產生了本質上的影響. 我們可以認為, 以前人類所發明的各種工具, 都是為了幫助我們體力上的工作. 但是現在的電腦, 卻可以幫助我們智力上的工作. 因此, 電腦這種工具的出現, 理所當然地對我們的教學內容與方法造成影響. 以下我分別闡述個人的看法.
在教學方法上, 我們企圖以數值計算的估計, 圖形的展現, 口語的討論, 以及數學的嚴謹形式, 交代微積分的觀念, 理論與算法, 並同時釐清因微積分而引出的重要數學理論命題. 例如實數的結構, 極限的意義, 函數的連續性, 實數數列與級數, 函數數列與級數的收斂性與收斂速度問題.
我們所掌握的新工具, 主要就是電腦和電子網路. 我們仍然要善用課本, 因為學生們可能還是依賴課本作為最標準的知識來源與釋疑依據. 在善用電腦方面, 我們最基本可以做的, 就是利用電腦的精確繪圖功能, 盡量地提供很多圖片給學生參考. 即使不是在網路上呈現, 也可以在課堂講義或是投影片上呈現. 在善用網路方面, 我們最基本可以做的, 就是參與學生的網路社會, 多和他們在網路中相處, 並藉此增加彼此溝通的機會.
這套教材, 最希望傳達給學生的, 是清晰的數學基礎. 我深信, 清晰的理解未必來自繁複的練習. 尤其在電腦軟體如此成熟的今天, 我們有幸可以將繁複的手續交由機器代勞, 而得以將大部分的精力集中在觀念的理解上.
美國西北大學數學系的 Boas 教授, 大約在 1988 年做了一首詩調侃計算機輔助教學. 他說, 人們花了大把大把的力氣, 寫了非常非常複雜的程式以描述本來就很簡單的觀念. 雖然計算機自從 1988 年以來進步了很多, 我還是要警惕自己別成為 Boas 諷刺的對象. 而且, 更別忘了, 告訴學生: Read the Book, 並不是件壞事.
由於時間的控制因素, 我們在運算能力的訓練上, 很可能會受到限制. 面臨這個無奈的取捨, 我們嘗試以符號計算軟體作為輔助工具. 在認識了當今這一類軟體的能力之後, 我們該有理由相信, 日後的工程師, 其微積分運算能力的重要性, 就有如昨日的工程師, 其四則運算能力的重要性一般: 不太重要.
當然, 快速而正確的心算能力仍然受到人們讚賞, 但是已經鮮少有人會依此而評斷一個工程師的能力. 纖小而可靠的數值計算器, 使得四則運算在人類智識活動中的定位大為改變. 雖然教育體制仍然堅持學生應該具有四則運算的能力, 但是我們不再以此為主要課題. 人們普遍地相信, 只要給予足夠的時間和紙筆, 一個受過完整教育的人必定能完成一個四則運算的命題---因為他了解計算的方法. 在這個課程中, 我們將電腦軟體放在完全一樣的定位上. 也就是說, 我們將堅持學生具有微積分運算的能力. 透過測驗, 學生必須表現出他了解這些運算的基本方法, 而讓我們相信, 只要給予足夠的時間和紙筆, 他必定能完成一個基本的微積分運算命題. 至於一個工程師在他的專業領域中實際面臨的微積分運算問題, 理應交由電腦處理.
電腦已經在我們的環境中如此普遍, 特別是在科學與工程的領域中, 它已經是個很``自然''的工具. 因此, 我們希望在數學的課程中也是很``自然''地使用電腦, 就像使用紙筆一樣的自然. 每當我們想畫一張圖, 或是想試算一些數據的時候, 我們就使用電腦. 我個人並不同意將電腦的實習操作放到課堂外的另一段特別的時間, 這樣做, 使學生容易感覺它不是正式課程中的一部分, 或者感覺使用電腦是什麼特殊的舉動; 這兩種感覺都是不正確的. 我們希望現代的學生習慣使用電腦作為一種智力活動上的工具, 就好像使用圓規, 直尺, 紙筆和電話一樣的自然.
一個警語: 我們千萬不能讓學生誤以為電腦可以``解決''微積分的問題. 用電腦來處理微積分的問題, 有其基本的矛盾. 因為微積分的處理對象常常是無限的 --- 無限大, 無限小, 無限多的步驟. 而計算機的處理對象只能是有限的. 所以我們要非常清楚地傳達一個訊息: 電腦的有限性, 相對於人腦的無限想像力.
教材設計的生動和花俏, 是不一樣的. 這一點, 可能沒有人會爭論. 我假設, 每個多媒體電腦輔助教材的設計者, 都希望自己的作品是生動的, 而不是花俏的. 但是, 就好像英勇與愚蠢之間, 雖然人人皆知有一條明顯的界線, 卻常常不知不覺地跨越了這條太沒有屏障作用的界線.
在實際安排教材的過程當中, 我很少發現想要在內容中安排聲音和影像 (video). 我見過一些數學教材中, 增添了音響效果的. 但是我個人無法辨識那些音響與數學內容的關聯行, 所以執疑這種做法的意義.
我時常會希望呈現一些圖片, 這當然不在話下. 但是在今天, 靜態的圖片可能已經不被認為是``多媒體''的一部分了. 我的確發現了一些製造動畫 (animation) 的需求, 幫助學生瞭解某種變化的過程, 或者做速度上與質量上的比較. 同時我也發現了一些互動式教學活動的需求, 以提供實際經驗, 或是 (希望能) 提高學習興趣. 這些, 都應該屬於``多媒體''的部分吧. 目前 (1997/07) 我們有六十幅靜態圖片, 但只有兩份活動. 所以, 多媒體的教學輔助工具是未來開發及試用評量的主要課題.
超文系統和網際網路的結合, 就是眾所皆知的 WWW (World Wide Web). 一個電腦裡面的超文系統, 就可以有許多維度的聯結關係了, 網際網路上多如繁星的電腦, 把它們各自的超文系統更交互聯結在一起, 其維度之高是可以想像的了. 因此, 我同意一位大陸旅美學者在 1992 年為 WWW 做的中文翻譯: 萬維網. 注意, 這三個字的羅馬拼音: Wan4 Wei2 Wang3, 其縮寫字母也是 WWW.
萬維網和人類本身的知識領域, 有著極為漂亮的對應關係. 一片段一片段的事實, 固然是重要的; 但是它們不造成整體的知識. 所謂知識是由事實或理論本身, 以及它們彼此之間的聯結, 所共同組成的. 教育學專家正在多方面地試圖找到更好的教育方法, 使得學生能夠更有效地發現這些聯結性, 並拓展其可聯結的領域. 人類的知識領域, 常常是在已知的領域中發現了新的聯結關係之後, 獲得突破的發展. 例如微分和積分這兩種觀念, 在牛頓和萊布尼茲之前, 老早就分別知道了, 也已經有了不少計算的公式. 卻是一直到了牛頓和萊布尼茲的心裡, 才發現這兩種觀念是有關聯的, 於是開創了我們今天說的微積分這一門影響人類文明致巨的知識領域. 底下我引述一句英文,
Knowledge consists of ideas, or eternal forms, and their great web of connections.看到了嗎? 這裡也出現了網 (web) 字, 和 WWW 裡面的網字一樣. (當時 1978, 萬維網還沒出現.) 一個一個片段的事實和理論, 就像萬維網上一小篇一小篇的文件一樣. 而由這些片段之間錯綜複雜的關聯所組成的整個知識, 就好像這些散佈的超文文件所組成的萬維網.
---William McGowen Priestley
既然萬維網和人類本身的知識網路, 有著如此漂亮的對應關係, 那麼以萬維網為基礎架構的教材設計, 會不會比較容易引起學習者的共鳴, 而比較容易產生對片段知識的相互聯結呢? 我個人 (和許多同仁們) 樂觀地認為這很有可能是對的. 有了這個系統, 我們首次有機會將知識以其多維度的聯結關係來呈現, 而不是以書頁的固定線性關係來呈現.
目前 (1997/07) 我們仍以線性的講義 (第一講到第二十六講) 安排為主體, 其中雖然有彼此的聯結, 但還缺少網狀的超文結構, 而且缺乏聯想性的相關題材. 在這方面, 我們已經搜集了頗多的資料, 將來可以陸續實現 WWW 網路教材的理想.