第一次小考

1. (10) Assume that the US rate of inflation continues at the 1991 rate of 4.6% a year. If postage stamps go up, on average, at the rate of inflation, when will it cost $1 to mail a letter in the US? [Note: That cost was 29 cents in 1991.] [你不必用計算機, 寫成最簡式即可.]

2. (10) 在下圖中的 A--F 點, 請問哪些點的切線斜率是正的? 哪些是負的? 哪一點的切線斜率最大, 哪一點最小?

3. (20) (1) 寫出 f(x) 在 x=x₀ 連續的定義. (2) 證明若 f(x) 在 x=x₀ 連續, 且數列 {x_n} 收斂到 x₀. 則

4. (20)

1. 證明若 f(x) 與 g(x) 均在 x=x₀ 處連續, 則 f(x)+g(x) 亦然.
2. 但是, 若 f(x)+g(x) 在 x₀ 處連續, 是否可以肯定 f(x) 與 g(x) 均在 x₀ 處連續呢? 如果你認為是, 請證明之. 否則, 請舉個反例.

5. (20)

1. 敘述柯西為連續函數的曲線下面積所下的定義. (5)
2. 敘述柯西的積分定理. (5)
3. 證明柯西的面積定義與傳統的矩形面積定義是相容的.

6. (20)

1. 寫出 f(x) 在 [a,b] 區間中均勻連續的定義.
2. 寫出上述定義之逆敘述.

MEAN = 71.1, VAR = 13.0,
{98, 90, 88, 88, 87, 85, 85, 85} >= MEAN + VAR,
{23, 48, 55, 55, 55, 55, 57} <= MEAN - VAR.