什麼是積分？

在高中的時候, 我們都有這樣一個概念: 積分就是求曲線下的面積. 例如下圖,

圖十

f(x) 從 0 到 1 的積分就是灰色部分的面積. 說到面積, 我們都耳熟能詳. 對面積的認識, 可能已經屬於我們的直覺的一部分了. 因為太熟悉了, 使得我們不假思索.

的確, 每個人對面積都有直觀的認識. 例如圖十一中的兩個圖形, 每個人都看得出來, 哪個面積比較大. 但是, 誰看得出來圖十二中的兩個圖形, 哪個面積比較大嗎?

圖十一	圖十二

因此, 單靠直覺是不夠的, 我們需要數字. 也就是說, 我們所謂的面積, 其實是跟隨著某個幾何性質的一個數字. 在應用上, 面對一個圖形的時候, 我們需要一套明確的算法, 用以求知它的面積 (的那個數字).

回想我們所接受的教育, 我們知道哪些圖形的面積呢? 實在是少得可憐. 基本上, 我們其實只知道什麼是矩形的面積.

圖十三

從矩形的面積, 我們推導出三角形的面積, 及至於多邊形的面積. 圓的面積是一個奇特的例子, 我們通常只是背公式, 知道它是

至於它是怎麼來的, 卻不甚了了.

既然我們只知道那麼少種類的面積, 更徨論任意曲線下的面積呢? 所以, 當我們說, 像圖十那樣的曲線下灰色部分的面積時, 我們其實不知道自己在說什麼. 究竟什麼叫做曲線下的面積, 它的數學定義是什麼? 這是我們即將面臨的課題.

Some numerical examples

How Archimedes find the area
of circle/sphere, and a story of pi