到目前為止, 我們所討論的積分都還在柯西積分理論的範疇之內. 也就是, 閉區間內的連續函數必可積. 黎曼在積分的理論上所做的推廣, 就是界定了一些未必連續的函數在未必有界的區間內的積分理論. 比如說, 函數 1/x2 在 內是連續的, 而 不是閉區間. 那麼 1/x2 在 內是否可以積分呢? 或者說 1/x2 在 內的曲線下面積是否為實數呢? 再者, 函數 在閉區間 [0,1] 內是不連續的. 但是 在 [0,1] 內難道就一定不可積分嗎? 或者說 在 [0,1] 內的曲線下面積難道就一定無窮大嗎?
這一類的積分問題, 我們稱為廣義積分 (improper integral) (Improper integral 或譯成瑕積分, 可能是 ``improper'' 的一種翻譯. 但是我們認為, ``improper'' 在此應是``不合標準''的意思, 倒沒有什麼``瑕疵''可言. 聽說日語將其譯做廣義積分, 倒是符合其推廣了柯西的積分理論之意. 故取之.) 我們不打算對初學者詳述黎曼積分理論的內情, 只敘述其應用.
由此, 我們看到,
幸好萬有引力的作用是一個 1/x2 的函數, 如果它是個 1/x 的函數, 我們可能永遠沒有辦法離開地球. 因為, 脫離地球的引力所需要的能量, 大約是
另一種廣義積分的問題是, 當 f(x) 在 [a,b] 內不連續的時候討論它的積分值. 如果 f(x) 在 [a,b] 內只在一個點 處不連續, 而且並非趨近於無窮大, 也就是 各自存在但是彼此不相等的情形. 則只要運用積分的銜接性即可: 同理可以推到 f(x) 在 [a,b] 內只有有限多個這種不連續點的情形, 就是將 拆成有限多片連續的片斷做積分, 然後取和. 我們不在此討論 f(x) 在 [a,b] 內有無限多個不連續點的情形.
如果 f(x) 在 處不連續, 而且 則我們仍然以極限的意義來考慮其可積性. 若 f(x)$ 在 (a,b] 中為正值連續函數, 但 若 之極限存在, 則稱 可積, 且其積分值為上述之極限. 否則稱其不可積或發散. 的處理方式也是完全類似. 如果 f(x) 在 x=c 處無窮大, 但是在 [a,c) 和 (c,b] 中為正值連續函數, 則若 和 分別可積, 就可以利用銜接性得到
根據 (3) 和 (4) 式, 我們發現 1/x 是一個臨界線. 函數 f(x) 的圖形在 1/x 下方的正值函數, 在 內是可積的. 回憶有關``速度''的闡述. 考慮 上的連續正值函數 f(x). 當 的時候, 如果 的速度比 的速度還要快; 也就是說當 x 很大的時候, p>1. 則 f(x) 在 內可積. 考慮 上的連續正值函數 f(x). 如果 f(x) 在 c 附近趨於 而且它的速度比 慢; 也就是說當 的時候, p<1. 則 f(x) 在 c 附近可積.
因為
我們可以輕易地觀察 x > lnx (當 x>0). 所以