微積分基本定理
若
f(x)
是 [
a,b
] 上的連續函數。 定義原函數
例如當 [0,1] 之間
f(x)
= 1 的時候，
F
(
x
) =
x
. 由積分平均值定理，存在
(
h>0
),
所以，根據
f
(
x
) 的連續性，
可證當
h
<0 的狀況亦同。所以，
或寫成
這就是第一形式的微積分基本定理。 它說明了
的對應關係。換句話說，積分與微分互為逆運算。
F
(
x
) 的導函數是
f
(
x
)，
f
(
x
) 的反導函數是
F
(
x
)。
如果我們令
G
(
x
) 是任意一個具有
G
'(
x
) =
f
(
x
) 性質的函數。 則由微分的線性關係，我們知道
所以我們確定的是
F(x)-G(x)
的導函數是 0。 因此
F(x)-G(x)
未必是 0，只能說
F(x)-G(x)
是個常數。 暫且稱之為
c
。 所以
但是
所以這個
c
(隨
G
而改變) 必定是
c = -G(a)
。亦即
於是我們得到所謂第二形式的微積分基本定理 (我們把
G
的名字換成了
F
, 把
x
換成了
b
)：
若
F(x)
是任意一個具有
F'(x) = f(x)
性質的函數，則
我們利用這個定理來求
f(x)
在 [
a,b
] 區間的定積分的值。