積分的變數變換技巧

從前一次的練習當中, 我們應當已經看到, 積分的演算不像微分一樣的規律化. 我們必須有``遠見''---我們要預估一個函數, 使得它的導函數是被積分函數. 有些情況是容易預見的, 例如求我們很容易可以預見再例如求 (x>1/2) 的不定積分, 因為我們很容易可以預見

但是, 如果要求 3x²cos x³ 的不定積分, 就沒有這麼單純了. 這時候, 我們必須熟練地使用微分的串聯律 (chain rule). 我們要預見的時候, 企圖找到一個變換因式 w(x),
使得 f(x) 可以寫成 g(w) w'(x). 如此, 則

當然, 我們希望

是比較容易找到反導函數的積分問題.

例如我們已經知道, 當 x>0 時, 所以, 我們得到一個通式:

但是, 在使用這個公式求定積分的時候要小心, 其積分範圍不能跨過 0. 例如

是個錯誤. 但是

是可以的. 其幾何意義也很明顯, 參見下圖. 曲線 1/x 在 [-2, -1] 之間與 x-軸所夾的面積應等於它在 [1, 2] 之間與 x-軸所夾的面積. 但因前者的曲線在 x-軸下方, 所以其積分值是負的面積.

圖五十

如果是在定積分的情況下, 我們有兩種作法:

將原來變數的積分上下限 a 和 b 換成 w(a) 和 w(b), 在求得 w 的不定積分後, 直接以 w(a) 和 w(b) 代入求定積分值. 例如課本 355 頁的 Example 2.
先求不定積分, 將結果寫回到原來的變數, 然後代入積分上下限. 例如, 上述的例子也可以這麼做:

另一種變數變換是在中令 x=g(w), 然後改寫積分問題

這裡的

如果是定積分, 就要把積分上下限 a 和 b 換成 g^-1(a) 和 g^-1(b). 例如課本 357 頁的 Example 6, 求橢圓面積的問題, 經過變數變換之後, 得到這樣的積分

課本上是以其曲線是單位圓之上半部為由, 用古典的圓面積公式得積分值

其實這個問題可以代入

得

翻到課本 366ff 頁查表, 得知

故

如果在 Maple 中下指令

    int(sqrt(1-w^2), w);

得到答案

(Maple 沒有寫常數 C).

在熟悉了變數變換法之後, 我們應該可以看得出來,

其實是同樣的積分問題. 因為, 在經過適當的代換之後 (前者代以 w(x) = e^x, 後者代以 w(x) = sinx), 兩者都導至