什麼是實數？

我們很早以前就自然地接受了實數這個名詞, 而且一點也不猶豫地使用這個名詞. 我們知道實數分成有理數和無理數兩種, 我們知道實數是稠密的. 也就是說, 實數線上沒有空隙. 但是, 其實有理數就已經是稠密的了. 任意給兩個有理數 則 (p+q)/2 也一定是個有理數, 而且落在 p, q 之間. 那麼, 有理數就幾乎可以把所謂的實數線填滿了嗎? 稠密, 就真的沒有空隙了嗎?

習題

1. 證明 根號(2) 是無理數。