阿基米德交代家人，在他的墓碑上雕刻一個圓球和它的外接圓柱體， 並且在圖形內刻出它們體積的比例。 今天，隨便問一個中學生，大概都可以回答這個問題。 如果球半徑是 r，Pi 代表圓周率， 則球體積是 (4/3)r3Pi， 外接圓柱體體積是 2r3Pi。 所以知道球體積是外接圓柱體體積的三分之二。 但是，仔細想想，球體積的公式怎麼來的呢？
如果您仔細地想，可能除了在微積分課程裡面學過球體積公式的推導之外， 您從來不曾學過，球體積的公式是怎麼來的？ 而阿基米德自認非常得意，以至於要刻在墓碑上的這個結果： 球體積是外接圓柱體體積的三分之二， 其實就是球體積公式的來源。 現在我們倒果為因，利用公式再去求兩個體積的比例，當然是有了後見之明， 所以覺得簡單囉！
阿基米德怎麼發現這個比例關係的呢？據說故事是這樣的： 考慮兩個半徑為 r 高為 2r 的圓柱體， 一個半徑為 r 的球，一個半徑和高都為 2r 的圓錐體。 阿基米德發現，如果密度相同 (比如說都是同一種木頭製造的)， 則如果在天平的一端放兩個圓柱體，另一端放球及圓錐體，會達到平衡。 因為密度相同，所以就表示天平兩端的體積一樣。 當時已經知道圓錐體體積是同底同高之圓柱體體積的三分之一。 因此，兩個圓柱體體積減去圓錐體體積，就是球的體積。 這樣就可以推導，球體積是圓柱體體積的三分之二。 物理的平衡現象提供了動機，而後阿基米德又使用了他的切片方法， 證明了這個結果。