正弦函數的級數表達

六個三角函數的值，其實都能從正弦函數值導出來。在級數算法被發現之前，人們只能利用半角公式、三倍角公式和特殊角的正弦值，去計算正弦函數的值。這套算法並沒有明顯的一般性，還需要較高的幾何知識和計算技巧。自從級數算法被發現之後，任意實數（廣義角）的正弦都可以代入以下公式算出來：

其中 3! 表示三階乘 (1*2*3)，其餘類似符號亦同。給定任何一個實數廣義角 x，有必要的話先換算成以弧長為單位的數值（因為上述公式只有當 x 以弧長為單位的時候才對，這也是為什麼高等數學都採用弧度量的原因之一），然後利用週期性和各種對稱性，將 x 換成一個銳角角度 (也就是

) 再代入上述公式。公式中有無窮多項，但是視需要只要算前幾項就夠了。算得越多項，準確度月高（亦即，準確的數字個數越多）。也就是「算之彌多，所失彌少」。

其實，不換算成銳角也沒關係，因為上述級數對所有的實數 x 都收斂。只是換成銳角，收斂得比較快。舉例來說，若或者我們都知道。代入上述公式，按照計算的項數列出計算結果。

項數 x=Pi/6 x=13*Pi/6
1 0.52359877559829887309 6.806784082777885350
2 0.49967417939436382666 -45.755553777267411665
3 0.50000213258879249763 76.011171641737117915
4 0.49999999186902326183 -58.315819190391368945
5 0.50000000002027991922 28.124176922037344657
6 0.49999999999996434382 -8.284592690177836740
7 0.50000000000000004658 2.528884130281832047
8 0.49999999999999999997 0.143106247650824057
9 0.50000000000000000000 0.549498157116080743
10 0.50000000000000000000 0.494442380075787246
11 0.50000000000000000000 0.500515859371792834

項數	x=Pi/6	x=13*Pi/6
1	`0.52359877559829887309`	`6.806784082777885350`
2	`0.49967417939436382666`	`-45.755553777267411665`
3	`0.50000213258879249763`	`76.011171641737117915`
4	`0.49999999186902326183`	`-58.315819190391368945`
5	`0.50000000002027991922`	`28.124176922037344657`
6	`0.49999999999996434382`	`-8.284592690177836740`
7	`0.50000000000000004658`	`2.528884130281832047`
8	`0.49999999999999999997`	`0.143106247650824057`
9	`0.50000000000000000000`	`0.549498157116080743`
10	`0.50000000000000000000`	`0.494442380075787246`
11	`0.50000000000000000000`	`0.500515859371792834`

如今的微積分課本，都是從泰勒展開來講上述公式。其實，這個公式的年齡和微積分一樣老，可能在泰勒出生前就被發現了。牛頓可能在三十歲以前就已經知道了。只是當初發現的方法和過程不具有一般性，用後來的泰勒展開來講，比較清楚。總之，這個公式絕非泰勒的功勞。