當初 Taylor 的問題是, 如何將一個一般形式的多項式 an xn + ... + a1 x + a0, 改寫成 x-x0 的多項式 (此處 x0 是任一個常數)? 也就是說, 如果
首先, 我們可以觀察到 (泰勒當然也觀察到了), 如果 f(x) 本身就是一個多項式的話, 那麼它可以在任意點 x0 附近取任意高階的的泰勒多項式 (因為 f(x) 在任意點處都有任意高階導數, 大不了是 0). 我們何不把這泰勒``多項式''寫到無窮多階呢? 無窮多階的``多項式''就不再叫一個``多項式''了, 它叫做冪級數 (power series). 其一般形式就是
特別當 x0=0 的時候, 泰勒級數就是 又稱做麥克勞林 (Maclaurin (1698--1746), 史稱此君是牛頓最成功的門徒. 不過, 此人出生的時候牛頓已經五十六歲了, 他可能不是牛頓親炙的學生.) 級數. 這或許是因為他在 1742 年出版了一本介紹微分的書 (其實是介紹牛頓的流數術), 而泰勒級數也被包含在他的書裡.
泰勒多項式的發現, 想必使得牛頓回憶起自己早年 (二十三歲) 發現的二項級數 (binomial series) (史稱此為牛頓在數學上的第一個貢獻. 時值 1665 年, 牛頓剛從劍橋畢業, 回到鄉下躲避瘟疫. 此後的十二年, 他獨力寫下了微積分基本定理和萬有引力原理, 發現了光的三原色, 還發明了反射望遠鏡.)