Taylor Expansion
我們定義所謂的泰勒多項式如下.
若 f(x) 在 x0 處至少 n 次可微,
則所謂 f(x) 在 x0 附近的 n 階泰勒多項式
就是一個符合以下條件的 n 階多項式 p(x):
因此, p(x) 可以寫成 x-x0 的多項式:
因為 (1) 式, 我們想像 p(x) 在 x0 ``附近''
應該很 ``靠近'' f(x0).
例如參考課本 10.1 節的圖 10.4 (sinx 在 0 附近的 7 階泰勒多項式, 在
首先, 我們可以觀察到 (泰勒當然也觀察到了),
如果 f(x) 本身就是一個多項式的話,
那麼它可以在任意點 x0 附近取任意高階的的泰勒多項式
(因為 f(x) 在任意點處都有任意高階導數, 大不了是 0).
我們何不把這泰勒``多項式''寫到無窮多階呢?
無窮多階的``多項式''就不再叫一個``多項式''了, 它叫做冪級數 (power series).
其一般形式就是
基本上, 無窮高階的泰勒``多項式''就叫泰勒級數:
如果 f(x) 在 x0 處有無窮多次導數 (無窮多次可微),
則 f(x) 在 x0 附近的泰勒級數就是
如果 f(x) 是個多項式,
則其泰勒級數 T(x) 其實只有有限項
(因為當 k 超過 f 的階數後,
f(k)(x) = 0.)
所以沒有 T(x) 收斂或發散的問題.
而且 f(x) 和 T(x) 不僅是``靠近''而已, 它們其實``相等''
(T(x) 不過是 f(x) 換一個形式的寫法而已).
但是, 如果 f(x) 是個一般的函數 (例如基本函數中的有理函數, 指數對數函數,
三角函數), 事情可就沒有這麼簡單了.
我們首先應該搞清楚, 冪級數是什麼意思?
模倣級數的部分和定義, 我們做如下的定義:
考慮冪級數如 (2),
定義其部分和函數 fn(x) 為
若函數數列 fn(x) 在 [a,b] 內收斂,
且極限函數為 f(x),
則稱此冪級數收斂, 且寫作
否則稱此冪級數發散.
接著, 我們得要定義什麼是函數數列的收斂了.
其實, 就是固定一個點 x 來看, 其函數值所形成的實數數列個自收斂;
把所有這些極限值聚在一起定義一個新的映射, 由極限的唯一性得知這個映射還是個函數.
這就是極限函數了.
若每個 fn(x) 均在 [a,b] 中有定義,
且存在某個函數 f(x),
使得任給一個
注意, 此處的 [a,b] 可以視情況換成開區間, 或是無限長的區間.
上面這個定義, 是一個點一個點來討論是否收斂,
而必須對每個點都有極限值, 才可以定義極限函數.
這種收斂定義又細稱做逐點收斂.
以後, 各位同學或許會學到其他方式的函數數列收斂的定義.
至此, 我們有了第二個問題:
如果 f(x) 在 x0 附近有泰勒級數,
那麼在 x0 的多麼附近之內該級數收斂?
收斂後的極限函數是否等於 f(x)?
其實, 我們將發現, 這個問題和前一個問題, 有共同的答案.
ex, cosx, sinx 在 0 附近的泰勒級數,
其實在整個 R 上都會收斂.
以 ex 為例,
其中
Created: Jan 15, 1997