Taylor Expansion

我們定義所謂的泰勒多項式如下.

f(x) 在 x0 處至少 n 次可微,
則所謂 f(x) 在 x0 附近的 n 階泰勒多項式
就是一個符合以下條件的 n 階多項式 p(x):
因此, p(x) 可以寫成 x-x0 的多項式:

因為 (1) 式, 我們想像 p(x) 在 x0 ``附近'' 應該很 ``靠近'' f(x0). 例如參考課本 10.1 節的圖 10.4 (sinx 在 0 附近的 7 階泰勒多項式, 在 之間很靠近 sinx), 圖 10.5 (cosx 在 0 附近的 8 階泰勒多項式, 在 之間很靠近 cosx), 圖 10.6 (ex 在 0 附近的 4 階泰勒多項式, 在 (-2, 2) 之間很靠近 ex), 圖 10.8 (lnx 在 1 附近的 4 階泰勒多項式, 在 (-1/2, 1/2) 之間很靠近 lnx). 但是,

x0 的多麼附近之內, 泰勒多項式 p(x) 將會多麼靠近 f(x) 呢?

這個量化的問題, 是所謂泰勒級數泰勒展開理論要討論的核心問題. 泰勒以及牛頓並沒有完全解決這個問題, 但是他們卻導出許多令人驚豔的結果. 而當時的許多結果都沒有證明, 純粹是``信不信由你.''

首先, 我們可以觀察到 (泰勒當然也觀察到了), 如果 f(x) 本身就是一個多項式的話, 那麼它可以在任意點 x0 附近取任意高階的的泰勒多項式 (因為 f(x) 在任意點處都有任意高階導數, 大不了是 0). 我們何不把這泰勒``多項式''寫到無窮多階呢? 無窮多階的``多項式''就不再叫一個``多項式''了, 它叫做冪級數 (power series). 其一般形式就是

基本上, 無窮高階的泰勒``多項式''就叫泰勒級數:
如果 f(x) 在 x0 處有無窮多次導數 (無窮多次可微), 則 f(x) 在 x0 附近的泰勒級數就是

如果 f(x) 是個多項式, 則其泰勒級數 T(x) 其實只有有限項 (因為當 k 超過 f 的階數後, f(k)(x) = 0.) 所以沒有 T(x) 收斂或發散的問題. 而且 f(x) 和 T(x) 不僅是``靠近''而已, 它們其實``相等'' (T(x) 不過是 f(x) 換一個形式的寫法而已). 但是, 如果 f(x) 是個一般的函數 (例如基本函數中的有理函數, 指數對數函數, 三角函數), 事情可就沒有這麼簡單了. 我們首先應該搞清楚, 冪級數是什麼意思? 模倣級數的部分和定義, 我們做如下的定義:

考慮冪級數如 (2), 定義其部分和函數 fn(x) 為
若函數數列 fn(x) 在 [a,b] 內收斂, 且極限函數為 f(x),
則稱此冪級數收斂, 且寫作
否則稱此冪級數發散.

接著, 我們得要定義什麼是函數數列的收斂了. 其實, 就是固定一個點 x 來看, 其函數值所形成的實數數列個自收斂; 把所有這些極限值聚在一起定義一個新的映射, 由極限的唯一性得知這個映射還是個函數. 這就是極限函數了.
若每個 fn(x) 均在 [a,b] 中有定義, 且存在某個函數 f(x),
使得任給一個 對每個 (選定的)
都找得到一個 N>0 以至於每當 n >= N 必有
則稱函數數列 {fn(x)} 在 [a,b] 內收斂, 且其極限函數是 f(x).

注意, 此處的 [a,b] 可以視情況換成開區間, 或是無限長的區間. 上面這個定義, 是一個點一個點來討論是否收斂, 而必須對每個點都有極限值, 才可以定義極限函數. 這種收斂定義又細稱做逐點收斂. 以後, 各位同學或許會學到其他方式的函數數列收斂的定義.

至此, 我們有了第二個問題:

如果 f(x) 在 x0 附近有泰勒級數, 那麼在 x0 的多麼附近之內該級數收斂?
收斂後的極限函數是否等於 f(x)?

其實, 我們將發現, 這個問題和前一個問題, 有共同的答案.

ex, cosx, sinx 在 0 附近的泰勒級數, 其實在整個 R 上都會收斂. 以 ex 為例,

其中 是某個介於 xx0 之間的數. 任給定一個實數 x, 令 那麼, 隨便指定一個 則取 每當 n>N,
所以

注意 sinx 和 cosx 的泰勒 (麥克勞林) 級數, 它們對應了 sinx 和 cosx 分別為奇函數和偶函數的性質.

歐拉公式 複數平面的單位圓.

如果 f(x) 和 g(x) 都在 x0 處有一次以上的導數, 而且 f(x0) = g(x0) = 0. 則

稱為不定形 (indetermined form) 之極限問題. 因為 f(x) = f'(x0) (x-x0) + f''(x0)(x-x0)2 + ..., g(x) 亦類似, 所以
上下各除一個 x-x0 項, 而且如果 f'(x0)/g'(x0) 不再是不定形,
這就是所謂的羅必達 (L'Hôpital, 1661--1704) 法則. 這雖然是個方便求極限的工具, 但是不能告訴我們收斂的速度. 直接使用泰勒多項式, 不但可以求得極限, 還可以告訴我們收斂的速度.

初學者常常以為一個函數如果可微就可以一直微分下去. 其實不然. 例如考慮 注意 本身在 0 點沒有定義, 但是因為

所以 f(x) 屬於可以補救的不連續. 只要定義 f(0) = 0 就連續了. 現在, 請您 (1) 以微分公式求當 的時候 f(x) 的導函數. (2) 以微分定義證明 f(x) 在 x=0 處是可微的, 而其導數值是多少? 所以 f(x) 的一次導函數 f'(x) 是存在的. 但是, 請證明: (3) f'(x) 在 x=0 處不連續. 因此, f'(x) 在 x=0 處不可微; 換句話說, f(x) 在 x=0 處恰僅有一次導數.

初學者常常以為如果每個 fn(x) 都是連續函數, 則它們的極限函數也連續. 其實不然. 例如在 [0,1] 區間中考慮函數數列 fn(x) = xn. 每個 fn(x) 都在 [0,1] 中連續. 請證明 (1) 若 0 < x < 1, 則 limfn(x) = 0; (2) 若 x=1, 則 limfn(x) = 1. 因為對每個 [0,1] 內的 x, limfn(x) 的極限值都存在, 所以可以定義函數極限

可見極限函數 f(x) 是不連續的.


Created: Jan 15, 1997
Last Revised: Jan 15, 1997
© Copyright 1997 Wei-Chang Shann 單維彰