單變數函數

什麼是單變數函數呢? 就是我們在高中時候看過的 y = f(x) 這種函數. 它只有一個變數 x, 工程上習慣說 x 是自變量, 因為它自己在變, 不隨著其他的因素改變. 而 y 叫做應變量. 一個函數並非只是一個數學公式, 或是一串數學符號而已. 我們其實是希望用數學的函數觀念來描述自然界的現象. 舉一些例子來說, 在自然現象與幾何理論中, 能夠用一個變數來描述的變化情形有如

正方形的面積是邊長的函數
圓的面積是半徑的函數
球的體積也是半徑的函數
在一支固定位置的溫度計上, 溫度是時間的函數
汽車上的里程表是時間的函數
股票指數是日期的函數

現在，我們應該要仔細一點，回頭複習一下，到底什麼叫做函數？讀者可能認為，函數這個名詞，我早就知道了。高中學生至少知道, 所謂函數, 是從某一個集合 A (稱作定義域) 到某一個集合 B (稱作值域) 的映射. 基本上就是這樣, 但是並非所有從 A 到 B 的映射都是函數, 還要加上兩點限制：

A 中的每一個元素都在 B 中有一個對應；每個自變量必須對應一個應變量，不可以無對應
B 中的元素只能被一個 A 中的元素對應；每個自變量不能對應到一個以上的應變量

把前面兩個限制合成一句話說，就是 每個自變量必須對應一個，且僅有一個，應變量。 至於什麼是映射和對應呢？讓我們在此對這個名詞保持直觀的認識。如果您覺得有必要，請複習以下課題：

為什麼函數要有那些規定？
什麼是一對一的函數？
什麼是映成的函數？
一個現代人在幼年時期發展的函數觀念。

我們都熟知 y = f(x) 這樣的函數在 x-y 座標平面上可以表現成一條曲線. 這是我們熟悉的哲學家---笛卡耳的突破性創見, 使得代數方程式與幾何圖形成為一體. 因此, 在下列圖形中,

圖一, 從 [0,1] 到 R 的函數圖形	圖二, 一個從 [0,1) 到 R 的函數圖形, 因為它在 1 那一點沒有對應的函數值

圖三, 一個從 (-1, 1) \ {0} 到 R 的函數圖形	圖四, 不可能是一個 y=f(x) 的圖形, 倒有可能是一個 x = f(y) 的圖形

圖五, 根本不可能是一個函數的圖形, 因為
對每一個 x 值, 都有兩個 y 值與它對應

一個單變數函數的圖形, 有什麼意義? 我們可以想像, 它記錄了某種在一維空間中隨時間的變化.

從實驗中, 我們至少看到幾個基本的意義: 圖形的閱讀, 總是從左到右. 上升的段落, 代表漸增的變化. 下降的段落, 代表漸減的變化. 越陡的段落, 代表越快速的變化. 發生相對極值的時間, 就是變化方向折反的時間.

很明顯地, 如果想要描述自然界的現象, 通常只用一個變數是不夠的, 我們還需要多變數函數. 多變數函數所能表現的自然界現象, 要比單變數函數豐富許多, 也更接近真實. 那麼為什麼我們在這裡只限定學習單變數函數呢? 因為它比較簡單嘛. 多變數函數本身的性質和相關的微積分技術, 比起單變數函數要複雜許多. 所謂行遠必自邇, 對於單變數函數的瞭解, 有助於探究更複雜形態的多變數函數.

課堂活動

老師在黑板上定義一個一維坐標，然後在講臺上走動，讓學生練習畫出時間--位置曲線。指出漸增、漸減、漸快、漸慢的圖形特徵。

習題

例舉三個自然現象或幾何理論中的單變數函數.