什麼是基本函數？ 大致上就是那些我們寫得出名字的函數。 比較明確地條列出來，就是
以及它們的算術組合、合成函數、 反函數。什麼是算術組合？ 就是基本函數與其他基本函數或常數 (零階冪函數) 的加、減、乘、除。 例如有限多個冪函數乘上常數 (係數) 之後再相加， 就稱為 多項式。 多項式相除就稱為 有理函數。
指數函數與對數函數已經互為反函數關係。 但並非所有函數都有反函數。 我們特別還要介紹 反三角函數。
除了這些以外，通常的微積分教材中還會增加 雙曲函數 與 反雙曲函數。 如果您是初學者，暫時不要理會這兩種函數。
並非所有平面曲線都是函數，即使是函數也未必是基本函數， 這裡有一些 例子。
在學習了 微分的代數公式 之後， 我們將發現，每一個基本函數都有它的微分公式。 任何一個函數，只要您寫得出來它的基本函數表達方程式，而且它是可以微分的， 您就可以依照固定的規則，很機械化的，求得它的微分。 因此，我們就不必驚訝於電腦軟體可以幫我們處理這一類的問題。
但是積分就不同了. 為了求積分, 我們必須有獨到的預測眼光. 在求 f(x) 的積分的時候, 我們必須反過來找到某一個函數 F(x) 使得 F(x) 的微分是 f(x). (這裡我用的語言並不精確, 以後會說得更明確.) 我們稱 F(x) 是 f(x) 的反導函數. 這就似乎要有點智慧了. 更何況, 並不是所有你寫得出來的函數, 都有一個你寫的出來的反導函數 (它也許存在, 只是你不能寫出它的基本函數方程式). 例如 2-x2 就是這種函數.
因此當我們第一次看到電腦軟體可以做積分的時候, 確實會有一點受侵犯的感覺. 近二十年來, 在這一類所謂符號計算或代數計算的算法研究上, 有驚人的進步. 許多我們以前以為需要智慧的工作, 被那些研究人員發現, 其實也只是機械性的勞力工作. 我們可以這樣說, 今天的符號計算軟體, 可以解決大一微積分課本裡所有的計算習題; 萬一在一個專業人員的工作領域中發現了一個這種軟體無法解決的積分問題, 那可能就需要一位非常聰慧的數學家才能解決了.