對數函數

對數函數. 這是我們的第一個觀念性的函數. 我們可以明確的定義它 (logax = c 意即 ac = x), 輕易地推導它的性質 (log xy = log x + log y, log xr = r log x,) 但是通常我們不知道如何去計算它. 譬如要從 (1) 式預測墨西哥的人口數何時會到達一億 (P=100)? 換句話說, 對數函數 y = logax 就是指數函數 ax = y 的 反函數.

在這門課中, 當我們寫 log, 就代表 log10. 這並不是放諸四海而皆準的. 比如說在計算機相關課程中, 常常 log 代表的是 log2. 但是, 因為

所以, 不管以誰為底, log 的值只差一個常數乘積, 定性而言, 它們的差異並不嚴重.

由於求解 ax = y 和計算 logay 是等價的問題. 一般來說我們都不知道該怎麼辦. 通常必須要藉由數值方法來求得近似值. 例如課本第 40 頁下方所作的計算. 以後, 我們將發現一個更明確的計算方法. 而且, 我們也還不知道當 x 是無理數的時候, 該如何定義 ax. 換句話說, 我們將要拓展 (extend) ax 在 Q 上的定義, 使它可以成為 R 上的函數.

人稱數學王子的高斯 (Karl Gauss) (史上並沒有人被封為數學皇帝或是數學皇后), 是記錄上第一個肯定數值計算的重要性的人. 他曾經雇用一個人, 專門計算很多對數的值, 製造成對數函數表. 如果需要使用對數的時候, 就去查表. 你要的數就不在表上, 你就要用簡單的內插法去估計那個值. 那個花了幾� 的時間受雇做對數表的人, 或許該稱為史上的第一個 COMPUTER.

這個表格當然在後來一再地被堪誤, 被擴充. 而其他觀念性的函數, 例如 等等, 也都分別地被製成數值表格. 在發明了自動計算機之前, 即使是四則運算也是非同小可的智識活動. 只有社會上相對來說受到比較高教育的人才能勝任. 例如在法國大革命之後, 因為許多的貴族都斷送了他們的頭顱, 所以許多失業的美髮師就受雇於巴黎的大學, 計算表格. 這些表格一直使用到小型電子計算器普及了為止. 事實上, 早期的自動計算機, 還以這些表格來驗證它們的運算是否正確.


Created: Oct 11, 1996
Last Revised: Oct 11, 1996
© Copyright 1999 Wei-Chang Shann 單維彰