三角函數

今天, 我們都是從 sinx 的幾何意義去介紹這個函數. 亦即, 以 x 為一夾角的直角三角形的斜邊與 x 之對邊之比值, 為 sinx.

圖二十六
[Fig 26]
至於 sinx 的值呢, 我們通常只在幾個特殊的 x 上打轉, 例如 x = 0, 等等. 當我們需要一般的 sinx 值的時候, 我們就自然地訴諸於計算機. 現在我們看到, 其實 sinx 的 級數定義 也就同時表明了它的計算方法. 雖然我們不可能計算到無窮多項, 但是總可以計算到某一個有限項為止, 而得到令人足夠滿意的答案. 這裡牽涉到所謂級數收斂的問題, 以後再說.

像 sinx, cosx 這些三角函數, 每隔 之後就重複其數值的, 稱為周期函數 (periodic functions). sinx 的周期 (period) 是 一般而言, 如果 c>0 且對所有的 x, f(x) = f(x+c), 則稱 f(x) 是 c-周期函數. 這種函數的圖形, 在每一段 [x0, x0+c] 炩﹞互搯_來都一樣. 我們常常取 或 的區間來看 sinx 函數.

如果將 x 視做時間而 y 視做位移, 則 y = sinx 所描述的運動稱為簡諧運動. 例如在沒有摩擦力和任何能量損耗的情況下, 一端載著重物的彈簧將呈此種運動. 圖形如課本上的圖 1.67. 但是, 如果有能量損耗, 那就是阻泥振盪. 圖形就會是像課本上的圖 5.46 (左圖是阻泥大的, 右圖是阻泥小的).

其他的五個三角函數都只是 sinx 的變化, 或是直角三角形的三個邊的其他五種比值. 例如 cosx 只是 sinx 的一個平移,

我們稱此 為相位差. 而
以前我們學過一個六角形示意圖, 來幫助我們記憶這六個三角函數之間的基本關係.
圖二十七
[Fig 27]
這個圖結合了以下幾種基本關係:
  1. 對角線之兩端互為倒數, 例如 sinx cscx = 1.
  2. 每個頂點為相鄰兩端點之積, 例如 sinx = cosx tanx.
  3. 三個灰色三角形上, 左上方頂點與右上方頂點之平方和等於下方頂點之平方, 例如 tan2x + 1 = sec2x.

除了上述的基本關係, 請各位同學複習幾個常用的等式. 至少包括以下四組:

Created: Oct 16, 1996
Last Revised: Oct 16, 1996
© Copyright 1999 Wei-Chang Shann 單維彰