一個初級問題的描述
我們在讀國中的時候, 就已經可以很熟練地回答以下這種問題:
小明從家裡出發到學校, 已知兩地間的距離是 2 公里,
小明一共花了三十分鐘的時間. 問小明的平均速率是多少公里/小時?
假設我們以小時為單位, 做成 x 軸,
將小明的家到學校的路� 做上里程標, 並以公里為單位當成 y 軸.
令 y=f(x) 記錄小明在時間 x 和家裡的距離.
那麼上述問題就是問 f(x) 在 [0, 1/2] 之間的變化率.
我們都知道答案.
但是, 在這麼大範圍裡面的變化率, 實在很難明確描述小明的運動狀態.
| 圖六 | 圖七
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| 圖八 | 圖九
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如果 f(x) 的圖形像圖六, 表示小明打從家裡出發開始, 就以等速率,
也就是平均速率, 向學校前進; 一刻也沒有耽擱.
如果 f(x) 的圖形像圖七, 表示小明一開始的時候走得很快,
但是接近學校的時候, 可能是累了, 就慢下來了.
如果 f(x) 的圖形像圖八, 表示小明一開始就慢吞吞地走,
中間甚至還停下來磨菇了一陣子, 然後突然加快了腳步直奔學校.
如果 f(x) 的圖形像圖九, 表示小明在前往學校的路� 當中折返回家,
可能是忘了什麼東西, 然後他又加快了腳步趕往學校.
這四種情形的移動方式, 都獲至一樣的平均速率.
可見這個數據對於整個運動的描述, 太過粗糙了.
如果我們能知道, 在每一瞬間 x, 小明的移動速率,
那我們將會對整個運動的過程多一些瞭解.
課堂活動
- 老師在 3mm 方眼紙上畫出曲線,影印發給學生,練習估計某些點的切線斜率。