什麼是微分？

我們看到，一個單變數函數可以想像成某個量隨時間的變化情形。那麼, 所謂 [x₀, x₁] 之間的變化率就是

假如 f(x) 表示的是位移，那麼變化率也就是平均速率的意思。

一個初級問題的描述

大家或許聽過，所謂微分，就是求瞬間變化率的動作。而這個所謂的瞬間變化率，就稱為導數。變化率我們瞭解，但瞬間是什麼？如果我們假設一秒鐘是一個瞬間，那麼就以 f(x) 在中的變化率來充當答案。在一般日常生活的應用上，似乎這也可以了。但是數學家顯然不能滿足於這種不明確的估計。因為半秒鐘比一秒鐘短，它當然更有資格被當作是一瞬間。那麼一微秒呢？那麼秒呢？只要你提議一個時間單位作為瞬間的定義，我們就可以提出一個更短的時間單位，更有資格作為瞬間的定義。這樣的競爭將永無終止。那你說，就拿 0 秒鐘來作為瞬間的定義，總不能再小了吧。不行，在 0 秒鐘範圍內，f(x) 根本沒有變化，所以，也根本沒有變化率可言。

也有些人已經知道，瞬間變化率就是切線斜率。但是這也不能解答我們的困惑。因為,追究下去，就要問什麼是切線斜率？所謂函數 f(x) 在某一點 x₀ 處的切線斜率，就是另取一點 x₁，過 (x₀, f(x₀) 和 (x₁, f(x₁) 這兩點做一條割線，而當 x₁ 非常非常接近 x₀ 的時候，割線就幾乎成為切線，那割線斜率也就成了切線斜率。由此可見，切線斜率問題和瞬間變化率問題，根本是等價的。所以，什麼叫做瞬間變化率？它的數學定義是什麼？這是我們即將面臨的課題。

以下我們從四個方面來看微分的做法：