反三角函數的導函數公式

所有反三角函數的微分公式, 都可以用 sinx 的微分公式配合微分律推衍出來。利用反函數微分律, 令 x = siny, 則

參考下圖之直角三角形 ABC, 若斜邊 AC 之邊長為 1, BC 邊長為 x, 則底邊 AB 之邊長為

圖四十一

由畢氏定理得知

故

如果我們定義 sin^-1 的值域在

則它是漸增函數, 所以應該取正值. 故

用完全一樣的想法, 我們得到

的值也應是

但是因為我們定義 cos^-1 的值域在

故為漸減函數, 應取負值, 所以

所以, 其實我們也得到了一組不定積分公式

或者

這看起來頗為可疑. 其實不然. 因為

所以

可見, 前面的兩個公式都對, 只是那兩個 C 不一樣. 後面的 C 是前面的

反正它們兩個 C 都是任意常數. 一般來說, 我們令

仍然是利用反函數微分律, 令 x = tany, 則

對應的積分公式是

這個積分公式對所有的 x 均成立. 特別注意定積分

所以, 用數值方法去估計

的值, 也就相當於估計

的值.