正弦函數的導函數公式

首先當然要說到 sinx, 它幾乎代表了所有的三角函數. 在這裡, 我們的 x 都是以徑度量來測度的. 也就是說, x 是單位圓上對應某個張角的的圓周長度. 所以, 角度的 360 度就是一個基本的幾何公式說, 以 x 為 (徑度量) 張角, r 為半徑的扇形面積是

(一整個圓就是

的扇形.) 如下圖.

圖三十七

對任一個 x, 由定義, 若

收斂, 則 sinx 可微且導數為其極限. 利用基本的和差化積公式,

如果

分別存在, 則 (1) 式中的極限就會存在.

而我們已經知道

現在, 用一個類似有理化分子的基本技巧,

因為 (2) 式右邊的三項分別取

的極限存在, 依序是 1, -1/2 和 0, 所以

現在, 我們只是把趨近於 0 的變數從 x 換到 h, 就得到

因此, 得到了三角函數的基本微分公式:
sinx 在任何點 x 都可微, 而且

這個簡單的公式，只有當 x 是徑度量的時候才對。換成角度量就不對了。這就是為什麼我們用徑度量的原因。