可補救的不連續，一個例子

函數

在 x=0 處不可定義。但是只要

存在，就可以另外定義 x=0 處的值而使其連續。這就是補救。

有的同學或許這時候會想到一個稱為羅必達法則的公式。我想，我們還不需要這種時髦的東西。讓我們欣賞一個古典的做法。

參照圖三十八.

圖三十八

圖中的角度是 x, 扇形 OAB 的半徑是 1. 換句話說, 弧線 AB 的長度是 x. OB 射線與 OA 的垂直線相交於 D. 很明顯地,
三角形 OAB 的面積 <= 扇形 OAB 的面積 <= 三角形 OAD 的面積.
由於 OB 的長度是 1, 根據 sin 的定義, 三角形 OAB 的高是 sinx. 由於 OA 的長度是 1, 根據 tan 的定義, 三角形 OAD 的高, 也就是 AD 的長度, 就是 tanx. 所以,

當 x 足夠小而又不為 0, 比如說

則 sinx>0. 於是可得

或者

因為 cos(0)=1, 所以顯然由夾擊定理得

當

的情形, 也可以得到一樣的結果, 就不多說了. 所以我們結論