自然對數函數與其導函數公式

我們已經知道, 指數函數 a^x (a>0) 必然有一個反函數, 我們稱它為對數函數 log_ax. 特別是以 e 為底的對數函數 log_ex, 稱為自然對數函數, 記做 lnx. 它之所以自然, 是因為 (由反函數微分律)

所以

由於 ln(1)=0, 所以,

函數 e^x 和 lnx 很明顯地, 都是連續函數. 那麼, 對任意 (一個給定的) 實數 x>0,

由積分平均值定理, 存在某數

所以,

類似於前面的歐拉論述方法, 我們可以得到

由 (3) 和 (4) 式, 我們得到一對估計 lnx 和 e^x (x>0) 數值的計算方法. 由於它們計算上的方便, 任何指數與對數函數都是經由它們計算的:

也因此得到了最後一套基本微分公式:
對任意 a>0, 指數函數 a^x 皆可微, 而且