在關注電腦的文字處理與多媒體呈現之功能時, 不要忽略了她的最原始功能: 計算. 在這一方面她也有長足的進步. 對於微積分的學生或使用者 (比如說工程師和精算 師), 衝擊最大的應該是符號計算軟體. 我們幾乎可以說, 這些軟體不能算的計算題, 一個學生也不能算. 當大部分的微積分計算題已經屬於那種 calculating machine 的工作範圍時, 微積分老師不能假裝這種軟體不曾發生, 而繼續要求學生做我們年輕 的時候所練習的那些計算題. 至少, 在這個民主的時代, 我們得要準備一套合理的說 辭, 等著應付這樣的質難. (因為以後你要參加的研究所入學考試還是這樣考!)
關於符號計算軟體, 我相信在今天已經受到數學同仁們的注意, 針對於此的論述已經 很多, 或許不需我著墨過多 (其實是著碳過多). 我想要模擬消費者 (比如說工學院 的學生或同仁) 質問一個另類問題. 數學常常自翎以簡馭繁. 微積分更是此中的翹楚. 在古早沒有計算機的時代, 當工程師需要算一大堆數的和, 他們可以將問題化成一個 連續統 (continuum) 模型, 因此那一大堆的算術問題就轉變成一個積分式. 熟知微 積分運算技巧的工程師就可以藉由求反導函數而輕易地獲得答案. 在那個時代, 運用 智巧的積分功力確實比精確計算的蠻力要有意義. 但是, 當這股蠻力可以到達每秒一 千萬次的速度, 而且是在很便宜的條件下由機器代勞的時候, 難道我們不該重新衡量 它們的意義嗎?
由於微積分工具的成功, 許多原來明明不適合連續統模型的問題, 為了計算上的以簡 馭繁, 也硬是套用了連續模型, 以期搭上微積分的便車. 比如說許多課本裡面教學生 以連續複利模型代替離散複利模型, 因此 (1+r/k)kT 的計算就被 erT 取代. 固然我們可以告訴學生, 當年利率是 6% 而每月計息一次的時候, 即使長達三十年的 本利和, 兩者的誤差也不過是 0.45%. 但是在今天, 究竟 erT 的計算比 (1+r/k)kT 簡單了多少? 而且, 0.45% 的誤差或許對土木與機械工程師來說幾乎 完美, 但是一千萬的 0.45% 就是四萬五千, 哪一個會計師要為這四萬五千負責?
更何況求反導函數其實是那麼的困難. 就連 sqrt(x3+1) 這樣一個看來單純無害的 函數, 我們都寫不出基本的反導函數. 所以有許多這樣的積分問題, 必須以數值積分 的程式求其近似值. 那麼問題是, 早知今日免不了離散化的數值積分, 何必當初推導 其連續模型?
面對這樣的質疑, 微積分老師該如何答辯? 而微積分的教材, 又當如何反應這個時代 的需求? 如果擱置運算的技術不談, 微積分的主要內容有些什麼東西? 在這些問題上, 筆者實在是才疏學淺無能作答. 當這學期我斗膽在文學院嘗試開設通識微積分 (只有 十二名學生選修), 便面臨這樣的問題: 在盡量縮小技術層面之後, 微積分有哪些核心 理論? 以下是筆者僭擬之草稿:
在筆者的能見度範圍, 可以提出在此計算環境下微積分課程的三大意義, 因此我個人 朝著滿足這些意義的方向去設計與選擇教材.