這門課是二學分的通識課程, 由英文系的林文淇教授與我合授. 課程之主要網頁由林教授主持, 地址在
在上課之後, 我又添了一些當天從林教授口中聽到的新知識. 族繁不及備載, 所以就不一一指明了.
Lewis Carroll 是 Charles Lutwidge Dodgson 的筆名. 他生於 1832 年 1 月 27 日, 卒於 1898 年 1 月 14 日. 於 1865 年, 出版愛麗絲夢遊仙境的第一部 Alice's Adventures in Wonderland. 七年後出版續集 Through the Looking Glass (1872). 他擁有數學學位, 二十二歲時畢業於牛津的 Christ Church 學院, 並留在那個學院擔任數學老師以至終身. 雖然他的一生並沒有在數學專業上做出什麼貢獻, 換句話說, 他沒有出版過多少論文, 而且論文的內容並沒有突破性的創見, 但是透過其他的著作, 卻也對數學的整體、和社會大眾對於數學的態度, 做出卓越的貢獻. 所以, 想必當時也有個識貨的人坐在適當的上位, 給了 Carroll 這個適當的座位. 這個適當的人很可能是 Henry Liddell. 兩本愛麗絲夢遊書中的 Alice, 主角人物就是 Alice Liddell. Carroll 很喜歡小孩，結交了許多小朋友, 並留下數百封寫給許多不同小朋友的信. Alice 三姊妹都是他的好朋友, 她們是 Henry Liddell 的女兒, 而這位 Liddell 先生是當時 Christ Church 學院的院長.
這堂課, 我們談談 Carroll 那個時代的的背景, 以利同學們有一個比較整體的概念. 我在這裡, 除了談談當時數學界的情況之外, 也想順便很粗略地介紹當時的中西政治情況, 以及同時期美術, 音樂和文學的創作.
據事後記載, Carroll 在 1862 年的七月四日那天, 與 Liddell 家乘畫枋出遊 (那天正好是美國國慶; 我想他們不是慶祝美國國慶, 當時的英國人不太在乎美國), 應小女孩的要求而開始編撰這個故事. 所以, 我認為 愛麗絲夢遊仙境 的這兩本書, 是
1862 這一年, 誕生了一位近代重要的數學家: 希爾伯特 (David Hilbert). 恰好也誕生了一位重要的音樂家: 德布西. 對我個人而言, 這一年也有特殊的意義: 它是我出生前的整整一百年. 但是, 希爾伯特和德布西的誕生, 勢必對於 Carroll 的創作毫無影響. 反而有可能的是 Carroll 的創作影響了他們兩位. 所以, 當我在考慮時代歷史背景的時候, 其實應當注意的是同時代中具有旺盛創作能量的人, 而不是那時候出生的人.
1862 到 1872 這十年, 正是 Carroll 從三十到四十歲的階段. 通常這是一個人創作力最旺盛的十年. Carroll 沒有將這十年的精力拿去鑽研數學, 卻花在撰寫兩本荒唐故事書上. 我認為 Carroll 想必是明智的. 當時的他, 一定心知肚明, 相對於同時代的數學家, 他最多只是個二流的角色. 在數學研究的領域裡面, 他沒有希望出人頭地. 但是在所有數學家當中, 論文學根底與造辭遣句的天分, 他可就是第一流的. 所以, 與其埋首於數學新知識的開創, 他選擇另一條更適合他自己, 也是對社會、對歷史更有貢獻的一條路. 他透過童話創作、數學遊戲以及通俗教材, 向世人傳授數學的精神與意義.
攝影術在 1839 年出現於法國, 想必很快地流傳到英國. 英國的 Hill 和 Adamson 從 1843 到 1848 之間合作成為當時最重要的職業攝影師 (合作的結束是因為 Adamson 的早逝), 其中 Hill 曾是個不太成功的畫家, Adamson 是一位工程師. 他們合作了幾百張作品, 是攝影史中最早期的遺產. 此處有 Hill 和 Adamson 在 1845 年拍攝的 一張作品. 最近出版了一本他們的作品集:
Alice's Adventures in Wonderland 這本書本來的名字叫做 Alice Underground (愛麗絲地底探險?). 後來正式出版的時候才換了名字. 這裡有 原稿 手抄本之最後一頁, 上面有 Alice Liddel 的照片. 當年出版時就附了 Tenniel 的插畫. 這裡有一張愛麗絲 拿玻璃桌上的水瓶 的插畫 (喝了以後縮小). 可見畫中的愛麗絲並非以 Alice Liddel 的模樣繪製. 據說 Carroll 寄了另一個金髮小女孩的照片給插畫師, 作為書中主角的模特兒. 我還沒有找到那張照片.
繪畫藝術在 1850 年代以前, 已經發展得極為精細準確, 可以畫得亂真. 但是, 想必是藝術家自我批判與昇華, 也或許多少受到攝影術的影響, 使得這個時代的繪畫藝術, 開始逐漸偏離「畫得像」的這層次, 而追求另一個比較屬於精神與藝術層面的發展. 在巴黎, 所謂的 印象派 畫風, 正在幾個年紀與 Carroll 相仿的畫家之間醞釀形成.
莫涅 (1840--1926) 的日出印象, 起先受到嘲諷, 後來卻成了 印象派 畫風名詞的由來. 馬奈 (1832--1883) 的 奧林匹亞 和 草地上的午餐, 原名沐浴. 賽尚 (1839--1906) 的 強暴.
貝多芬已於 1827 年逝世, 音樂中的浪漫派, 在 Carroll 的時代已經成熟.
在 Carroll 的維多利亞時代, 英國的社交圈對於社會禮儀非常嚴謹. 就連說什麼話, 跳什麼舞, 都規定得十分清楚. 華爾滋是當時社交場合的重要正式舞步. 小約翰史特勞斯在 1865 年, 也就是出版 Alice's Adventures in Wonderland 的同一年, 發表了著名的 藍色多瑙河 (此處提供大約一分半鐘的音樂段落, 以 MP3 壓縮, 大約 1.4MB).
在 Carroll 創作愛麗絲的這十年期間, 美國大致上而言屬於內戰時代. 所謂的南北戰爭, 從 1861 持續到 1865 年. 剛剛普及的攝影術第一次在戰爭中派上用場, 為當時的戰爭留下許多寫實的畫面.
那個時代的人, 還沒發現太陽系中的所謂九大行星. 他們只知道八大行星. 當第七顆行星, 天王星 (Uranus) 在 1781 被發現之後, 天文學家發現他的軌跡與牛頓力學定律所預測的不合. 一派人相信觀察而認為牛頓有錯, 另一派人相信數學而認為另有未觀察到的星體. 英國的 Adams (1845) 和法國的 Le Verrier (1846) 分別以數值的計算, 預測了第八顆行星, 海王星 (Neptune) 的位置, 然後被德國的 Galle 以望遠鏡發現了她. 第九顆行星, 冥王星 (Pluto) 一直到 1930 才被發現. 以至於作曲家 Holst 在 1916 年發表 行星組曲 的時候, 只有八條曲子.
托爾斯泰在幾乎相同的時段 (1864--1869) 內創作了他的巨著 戰爭與和平.
高斯 (Gauss, 1777--1855) 已經在 Carroll 二十三歲的時候過世, 象徵著一個偉大時代的結束. 高斯和他同代的柯西 (Cauchy, 1789--1857) 傅立葉 (Fourier, 1768--1830) 等人, 將數學帶入一個新的層次. 複變函數論從他們開始, 分析學幾乎也可以說從他們開始, 非歐幾何呼之欲出, 整數的古典理論到此幾乎完備, 而新的研究方向也正起步.
除了那些像恆星一樣明亮的導航舵手之外, 在這個世紀初還出現了一對耀眼的珍珠. 他們曇花一現的生命, 配上影響深遠的創作, 益發使人感覺他們是專程被送來告訴我們, 一些被當代大師所遺漏的數學. 他們是 Abel (1802--1829) 和 Galois (1811-1832). Abel 開創了橢圓函數論, 並證明五階多項式沒有公式解法. Galois 的理論一直到 1846 年以後才被瞭解; 他證明了五階以上的多項式都沒有公式解, 而他的研究方法開創了一整個抽象代數的領域. 所謂公式解, 就是利用多項式的係數做四則與開方運算所能求得的解. 我們在高中的時候學會了二階多項式的公式解. 這個公式在很久以前的中國和其他古文明就已經知道. 十六世紀的時候, 陸續發現了三階和四階多項式的公式解法. 但是五階多項式的公式解, 就再也沒有人能做出來. 這個問題一直延宕了兩百年左右, 至此獲得完整的解決 (證明某件事 辦不到 也是一種解決). 當時流傳的所謂 古希臘三大難題, 其中兩題也就因此而解: 它們不是 難題, 他們其實是 無解題!
幾何問題代數化.
在 Carroll 的時代, 數學的重心並不在英國. 有人說自從牛頓 (1642--1727) 過世之後, 英國自陷於微積分的意氣之爭, 在數學分析方面刻意不與歐洲合作, 結果變成自外於分析學主流的發展, 一直到 Carroll 年老之時, 英國的數學家才重振雄風, 擔任世界舞臺上重要的角色. 當時產生於英國的重要數學貢獻, 有 Hamilton (1805--1865) 的四元數和 Boole (1815--1864) 的邏輯符號運算. 其中可能是 Boole 對世界以及對 Carroll 的影響比較大. Carroll 也在邏輯方面有些貢獻, 而且他的故事書中, 含有許多邏輯類的遊戲. 今天所謂的布林代數 (Boolean algebra) 就是 Boole 的創作. 他開啟了整個數理邏輯這一條數學分支. 羅素曾說, 真正的純數學從 Boole 才開始. 但是所謂純數學並非 沒有用 的意思. 當 1940 年代英美兩國開始電子計算機的設計之時, 布林代數成為邏輯電路設計的實際基礎.
分析學的嚴格化.
