核心通識 -- 文化脈絡中的數學

100 學年第 2 學期（第三屆）

作業九

1. 針對牛頓所著之《自然哲學的數學原理》， 簡報裡提出哪三項「哲學」理念？

2. 請複習組合數，寫出 Cⁿ_k 的定義。 按照你寫的定義，代入 n=5，k=2，求其值。
       然後，按照你寫的定義，代入 n=-1，k=1, 2, 3, 4, 5，求其值。 你猜，對於一般的正整數 k， C^-1_k 是什麼？
       以下不是作業問題，閱讀即可，不必回答。 如果你找到了上述組合數的公式，其實你就發現了「青年」牛頓發現的一件事： (1+x)^-1 的二項展開公式可以寫成無窮多項，其中規定 Cⁿ₀=1。其實，它也是以 -x 為公比的無窮等比級數公式

      1
   ------- = 1 - x + x2 - x3 + x4 - x5 + ...
    1 + x
   

   至於其「收斂條件」，只是一個技術細節，現在不提了。

3. 當 f(x) 是一個多項式，則對任意實數 a， f(x) 除以 x-a 必有一個商式 q(x) 和一個餘數 r=f(a)； 請以 f(x)=x³+x-1 和 a=1 為例，算出 q(x) 和 r。
       所以，根據除法原理，f(x)-f(a) 必定被 x-a 「整除」，得到商式 q(x)。 也就是說

   [f(x)-f(a)] ÷ (x-a) = q(x)

   （這個情況就好像：如果正整數 m 除以 p 得到商 q 而餘 r，則 m-r 被 p 整除， 得到商數 q。例如 17÷3=5...2，則 (17-2)÷3=5。） 所以，我們「幾乎」可以說

     f(x) - f(a)                            17 - 2
    ------------- = q(x)   （就好像我們說 ---------- = 5）。
        x - a                                  3
   

   在上式之右側，我們可以代入 x=a 計算 q(a) 的值。 試以 f(x)=x³+x-1 和 a=1 為例，算出 q(a) 的值， 並說明將 x=a 代入左式，會發生什麼情況？
       請問理、工、資、地學院的同學：數學如何處理上述尷尬的情況？

                   f(x) - f(a) 
   亦即，如何處理 ------------- 在 x=a 處的值？
                     x - a   
   

4. 請自行查詢資料，簡要回答橢圓的「離心率」是什麼意思？ （可以繪圖輔助。）

5. 文本的作者認為： 唯有當社會中從事「智力勞動」的人口比例夠高的時候，「國民教育」才開始有意義。 請闡述妳/你贊成或反對的意見。

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