我用這個例子來告訴同學，就算是自然語言， 語言跟真實之間，是需要人的理解來做連結， 它並不是 one-one-onto 的對應到一個真實世界的東西。 那數學也是一樣，數學本身是一種語言，但是在這個語言裡面， 我們不是並自我一致的。 在數學語言裡面，什麼叫做對？而什麼又叫做錯？ 對，就是跟過去已知的數學沒有矛盾； 錯，就是跟過去已知的數學或者跟這句話的本身，能找到矛盾的。 簡單來說，數學裡面沒有矛盾的都是對的。 所以數學有一些語句，說它正確，你找不到矛盾；說它錯誤，你也找不到矛盾， 那麼既不能證明正確，也不能證明錯誤，它只好被當成是未知的， 你可以說它對也可以說它錯。
還有另外一個迷思，很多人都誤認為數學是真實的。 數學不是真實的，數學跟真實沒有任何的對應關係。 譬如說，絕對沒有一根真正的繩子，它的長度是一公尺。 同樣的道理，你也可以說沒有任何一個東西是圓的；沒有一個現實的東西是平面的； 任何數學上的 object 所討論的東西，被落實到物質的時候， 它就不再是數學，它就不再正確了。 在現實上沒有一個平面是沒有厚度的； 沒有一條線是沒有寬度的； 沒有一個點是沒有面積的。 要說幾何學是測地學的話，高斯才是真正開始在做測地學的人。 因為用平面來做幾何學都是不對的， 想像你在赤道上面，平面幾何告訴我們， 我們畫兩條垂直於赤道的線，它們應該是平行的。 但是如果你在地球上面畫這樣兩條線， 它們應該會在北極附近相交。
點線面、數字，這些概念都不能映到物質上面去， 只要映到物質上面去，它就不再是數學了。 很少有中小學的老師理解這件事，他們將數學針對物質事件來看待，但是這樣是不對的。 中文英文的語言，也要跟我們的生活經驗有關聯，才會產生意義。 數學這個語言跟真實生活是沒有關聯的，是一個封閉的系統。 數學跟電腦是唯二的兩個 man-made universes，所以它們很能互通。 只有在這兩個系統裡面有存在可以被證明的絕對真理，其他系統都沒有； 只有在這兩個系統裡，人類可以判斷自己的假設、思維是否正確。 在自然界裡，沒有所謂的絕對真理， 因為所有人類對自然界的描述，都要符合自然界，才叫做對的。 而人類無法觀察到自然界的所有事實， 用時間來說，不可能觀察到所有的事物； 用空間來說，不可能觀察到所有的狀態。 我們沒有時間、能量、資源，所以我們只能做很小的觀察。
又譬如以前我們認為，太陽繞著地球轉，在經過了很多的證明後，發現這個理論是錯的。 一旦發現自然的運行方式跟書本上寫的不一樣時， 是書上的錯？還是自然界的錯？這是個很荒謬的事， 這就是自然科學跟數學的不同。 數學，書上錯就是錯，對就是對，不需要拿書上的知識跟自然界相比。 這就叫做 man-made universe，在這裡面的對錯，是我們自己決定的。 但是書上說太陽繞著地球轉，但是觀察發現事實不然， 那麼很顯而易見的，一定是書本錯了， 因為我們有個 mother nature 在那裡。 社會科學則是研究人類各種行為， 被研究的對象為一主體，研究者為客體， 透過小部分的觀察以及大腦的推論， 我們假想出一個道理。 一旦道理在主體中找到反例的話， 很明顯的是理論錯了，理論會被推翻，然後重來。
星際大戰中，有一個角色叫做 Q。 對 Q 來說，從一個時間換到另一個時間， 就好像人類從一個房間走到另外一個房間一樣簡單。 Q 認為人類很原始、愚笨、能力很低微，但是存在著一種愛的情操。 他出現的時候，總是在作弄人類， 他看到人類做出一些不合邏輯、犧牲自己的舉動，被稱為愛的行為。 就像是人類在三度空間中，看著平面的生物， 看著他們不了解有三維的那種感覺。
無論我們生活的空間是十一維， 這個類比相當於，人類不可能有一天會知道自然界的真理， 我們永遠只能知道正交的投影。 一旦有個正交投影之後，我們大概就可以接受這是真理， 或者說這個真理就永遠不會被推翻了。 因為我們這個空間裡的人已經找到了真正真理的垂直投影， 而且在人類世界裡，沒辦法分辨這個投影與真實的東西有何差異。
用數學式子寫出來就是，如果外面的東西叫做 u，垂直投影下來叫做 uh， 跟所有的 x 是正交的， 內積就是你從一個角度去看它，得到的那個量，就是投影量。 在工程上的解釋，就是從 x 的方向去看 uh 向量有多長，這就是投影的意思。
這個式子告訴我們，在 V 這個 space 裡面，你用盡了所有角度， 都看不出來uh 跟 u 有何不同。 一定要離開這個 space 才可以看清，這就是人類存在的侷限性，科學與數學最大的分野。 科學的每一句話，都要拿去那個主體去驗證，無法自我決定對錯。 數學跟語言、電腦科學，則可以自我決定對錯， 因為前提、假設、所有詞句，都是我們自己定義的。 所以可以用自己的邏輯去推導研究對錯， 即便是愛因斯坦、費曼等著名物理學家，都說過：「這真是一個不可思議的事情， 我實在想不懂，數學明明是跟科學界、自然界毫無關係的一種語言， 為什麼一再的發現這個語言描述著自然現象呢？」。 例如：非歐幾何對應著重力空間的空間扭曲， 不但物理學如此，化學、天文學、社會學、生物學，也都一樣的讚嘆著， 數學對應著它們的現象。
我最近七、八年來，與科學家互動合作後，漸漸體會出， 科學家在學數學之外的訓練，是數學家完全沒受過的訓練。 以前的數學家只玩著自己的那本字典，而不理會字典外的事， 但是如果跟科學家合作的話，可以發現科學家做著很實際的事情， 做著可以測量、紀錄下來的實驗。從實驗開始便套入數學公式分析， 經過計算之後，猜想著例如神經與血壓的相關性，至此都還是數學的範疇。 而科學家憑著經驗、直覺以及實驗技巧，將計算所得的數學公式，套回實驗。 科學家比數學家多做了前置的工作、後段的結論，而數學只是中間那段過程。
所以科學與數學的關係，是三段關係：
還有一件類似的趣事，有一次我跟兩個女同事到餐廳吃飯。 出了電梯之後，餐廳位於左手邊，廁所位於右手邊， 我跟兩位女同事說：「等我一下，我需要洗個手。」， 我正要走的時候，她們問了句：「在哪裡？」， 我就指著男廁方向說：「在這裡。」，結果原來他們是在問餐廳在哪裡？ 這就是我上一個禮拜提到的溝通問題。
接下來，有一份王慶安教授整理的新的課程綱要，是在一個教師研習中， 要對中學老師闡述三或六個小時的國中課程綱要架構。 我對小學課程綱要比較熟悉，但各位同學的重心是放在中學， 所以小學的部分當作旁支授課， 讓你們瞭解你們的學生在過去六年，所受的教育背景，或者對你們教育小孩也會有幫助。
題外話：現在社會貧富差距很大，吸收教育的程度， 也會因每個家庭的社經地位不同，產生很大的差異。 由於學校教育淺化，所以社會開始不滿足於達到學校標準。 於是社經地位高、期許高的家長，便會提供小孩更多的幫助。 而受到越多幫助的小孩，將來成就高的機率也高， 產生貧富差距越來越大，社會階級不能流動的現象。 以上現象，金錢是一個因素，家長知識則是另一個重要因素。 所以多瞭解一些小學課程，亦為一種優勢。